Question

1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a) >= 2/(a + 2b + c) + 2/(a + b + 2c) + 2/(2a + b + c)

Answer 1

BĐT chỉ đúng trong trường hợp a;b;c dương.

Với mọi số thực dương x;y ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+b+b+c}=\dfrac{4}{a+2b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}\)

\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)

Cộng vế và rút gọn:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{a+b+2c}+\dfrac{2}{2a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)