Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Ngọc Thiện Mỹ

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CM:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)\(\ge\) 6

Huyền Anh
17 tháng 6 2017 lúc 11:00

Đặt A= \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

Đặt x = b + c - a, y = a + c - b, z =a + b -c

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2c\\y+z=2a\\x+z=2b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x}+\dfrac{\dfrac{x+z}{2}}{y}+\dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\)

Theo bất đẳng thức Cô -si luôn đúng với m, n \(\ge0\)

=> \(m+n\ge2\sqrt{m.n}\) . Dấu '=' xảy ra kh m = n

=> Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y}}=2\left(1\right)\\\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{x}.\dfrac{x}{z}}=2\\\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{y}.\dfrac{y}{z}}=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức (1) (2) (3) , ta được:

A \(\ge6\)

Vậy \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\ge6.\)Dấu '=' xảy ra khi a = b =c.

Hung nguyen
17 tháng 6 2017 lúc 19:59

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{c+a-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

\(=\dfrac{2a^2}{ab+ac-a^2}+\dfrac{2b^2}{ba+bc-b^2}+\dfrac{2c^2}{ca+cb-c^2}\)

\(\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-a^2-b^2-c^2}\)

\(\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a^2+b^2+c^2-a^2-b^2-c^2}=6\)

Dấu = xảy ra khi a = b = c


Các câu hỏi tương tự
Phú An Hồ Phạm
Xem chi tiết
Đức Vương
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Tấn Phát
Xem chi tiết
Dương Nguyễn Phương Anh
Xem chi tiết
Linh Nhật
Xem chi tiết
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết
Hoang Thiên Di
Xem chi tiết
Detective Conan
Xem chi tiết