Question

1) Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(2;1;4),N(5;0;0),P(1;-3;1). Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) đồng thời đi qua các điểm M,N,P. Tìm c biết a+b+c<5

2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :\(\frac{x+1}{2}\)= \(\frac{y}{1}\)=\(\frac{z-2}{-1}\) và 2 điểm A(-1;3;1), B(0;2;-1). Gọi C(m,n,p) là điểm thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng \(2\sqrt{2}\). Giá trị của tổng m+n+p bằng ??

3) Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d :\(\frac{x}{1}\)=\(\frac{y}{1}\)=\(\frac{z+1}{-2}\); \(\Delta_1\): \(\frac{x-3}{2}\)=\(\frac{y}{1}\)=\(\frac{z-1}{1}\) và \(\Delta_2\): \(\frac{x-1}{1}\)=\(\frac{y-2}{2}\)=\(\frac{z}{1}\). Đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với d đồng thời cắt \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) tương ứng tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\)=(h;k;1). Giá trị của h-k bằng

Answer 1

Câu 1:

\(\overrightarrow{MN}=\left(3;-1;-4\right)\Rightarrow\) pt mặt phẳng trung trực của MN:

\(3\left(x-\frac{7}{2}\right)-\left(y-\frac{1}{2}\right)-4\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4z-2=0\)

\(\overrightarrow{PN}=\left(4;3;-1\right)\Rightarrow\) pt mp trung trực PN: \(4x+3y-z-7=0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2 mp trên: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1-t\\z=t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(1+c;1-c;c\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{NI}=\left(c-4;1-c;c\right)\)

\(d\left(I;\left(Oyz\right)\right)=IN\Rightarrow\left|1+c\right|=\sqrt{\left(c-4\right)^2+\left(1-c\right)^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(c+1\right)^2=3c^2-10c+17\)

\(\Leftrightarrow2c^2-12c+16=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\\c=2\end{matrix}\right.\)

Mà \(a+b+c< 5\Rightarrow\left(1+c\right)+\left(1-c\right)+c< 5\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)

Answer 2

Câu 2:

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=t\\z=2-t\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-1+2n;n;2-n\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(2n;n-3;1-n\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(3n-7;-3n-1;3n-3\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\right|=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3n-7\right)^2+\left(-3n-1\right)^2+\left(3n-3\right)^2}=4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow27n^2-54n+27=0\Rightarrow n=1\)

\(\Rightarrow C\left(1;1;1\right)\Rightarrow m+n+p=3\)

Answer 3

Câu 3:

\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=-1-2t\end{matrix}\right.\) \(d_1:\left\{{}\begin{matrix}x=3+2t_1\\y=t_1\\z=1+t_1\end{matrix}\right.\) \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t_2\\y=2+2t_2\\z=t_2\end{matrix}\right.\)

Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc d và cắt \(d_1\); \(d_2\) lần lượt tại H và K \(\Rightarrow\) tập hợp các đường thẳng HK chính là tập hợp \(\Delta\)

Phương trình (P) có dạng: \(x+y-2z+d=0\)

Tọa độ H là nghiệm:

\(3+2t_1+t_1-2\left(1+t_1\right)+d=0\)

\(\Rightarrow t_1=-d-1\Rightarrow H\left(1-2d;-1-d;-d\right)\)

Tọa độ K là nghiệm:

\(1+t_2+2+2t_2-2t_2+d=0\)

\(\Rightarrow t_2=-d-3\Rightarrow K\left(-d-2;-2d-4;-d-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{HK}=\left(d-3;-d-3;-3\right)\)

\(\Rightarrow HK=\sqrt{\left(d-3\right)^2+\left(-d-3\right)^2+9}\)

\(\Rightarrow HK=\sqrt{2d^2+27}\ge\sqrt{27}\Rightarrow HK_{min}\) khi \(d=0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{HK}=\left(-3;-3;-3\right)=-3\left(1;1;1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h=1\\k=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow h-k=0\)