1, Tìm \(m,n\in N\) để: \(A=3^{3m^2+6n-61}+4\in P\)
2, Tìm \(a,b,c\in P\) biết:
a) \(a^b+b^a=c\)
b) \(a^2-2b^2=1\)
3, Tìm \(n\in N\) để:
a) \(A=2^8+2^{11}+2^n\) là 1 số chính phương
b) \(B=2^n+3^n+4^n\) là 1 số chính phương
4, Cho ΔABC có 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp và \(3\angle A+2\angle B=180^0\). Tính các cạnh của ΔABC (Giải bài này theo cách lớp 7 thôi nha)
5 Cho \(a^2+2b+1=b^2+2c+1=c^2+2a+1\)
Tính \(S=a^{20}+b+c^{2018}\)
Bài 1:
\(A=3^{3m^2+6n-61}+4\)
Ta thấy \(3m^2+6n-61=3(m^2+2n-21)+2=3t+2\)
Do đó: \(A=3^{3t+2}+4\)
Ta thấy: \(3^{3}\equiv 1\pmod {13}\Rightarrow 3^{3t}\equiv 1\pmod {13}\)
\(\Rightarrow 3^{3t+2}\equiv 9\pmod {13}\Leftrightarrow A=3^{3t+2}+4\equiv 13\equiv 0\pmod {13}\)
Do đó \(A\vdots 13\)
Để $A$ là số nguyên tố thì \(A=13\Leftrightarrow 3^{3m^2+6n-61}+4=13\)
\(\Leftrightarrow 3m^2+6n-61=2\)
\(\Leftrightarrow m^2+2n=21\)
Từ đây suy ra m lẻ. Mà: \(n>0\Rightarrow m^2=21-2n\leq 21\)
\(\Leftrightarrow m\leq 4\)
Do đó: \(m\in\left\{1;3\right\}\)
+) \(m=1\Rightarrow n=10\Rightarrow (m,n)=(1,10)\)
\(+)m=3\Rightarrow n=6\Rightarrow (m,n)=(3,6)\)
Bài 2:
a)
Nếu \(a,b\) đều lẻ thì \(c\) chẵn. Mà $c$ là số nguyên tố nên $c=2$
\(\Rightarrow a,b< c\Leftrightarrow a,b< 2 \) (vô lý)
Nếu $a,b$ đều chẵn \(\Rightarrow a=b=2\Rightarrow c=8\not\in\mathbb{P}\)
Do đó $a,b$ khác tính chẵn lẻ. Không mất tính tổng quát giả sử $b=2$, còn $a$ lẻ
Ta có: \(a^2+2^a=c\)
Ta biết rằng một số chinh phương khi chia cho $3$ thì có dư là $0;1$.
Nếu \(a\vdots 3\Rightarrow a=3\Rightarrow c=17\in\mathbb{P}\)
Nếu \(a\not\vdots 3\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 3\)
Và: \(2^a\equiv (-1)^a\equiv -1\pmod 3\) (do a lẻ)
\(\Rightarrow a^2+2^a\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod 3\) hay \(c\equiv 0\pmod 3\)
\(\Rightarrow c=3\)
Do đó: \(2^a+a^2=3\Rightarrow 2^a<3\Rightarrow a<2 \) (vô lý)
Vậy \((a,b,c)=(3,2,17)\) và hoán vị $a,b$
b) \(a^2-2b^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2=2b^2+1\)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia $3$ dư $0$ hoặc $1$
Nếu \(b^2\equiv 0\pmod 3\Rightarrow b\equiv 0\pmod 3\Rightarrow b=3\)
\(\Rightarrow a^2=19\Rightarrow a\not\in\mathbb{P}\)
Nếu \(b^2\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2b^2+1\equiv 3\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow a^2\equiv 0\pmod 3\)
\(\Rightarrow a\vdots 3\Rightarrow a=3\)
Thay vào suy ra \(b=2\) (thỏa mãn)
Vậy \((a,b)=(3,2)\)
Bài 3:
a) \(A=2^8+2^{11}+2^n\)
\(A\equiv (-1)^8+(-1)^{11}+(-1)^n\equiv (-1)^n\pmod 3\)
Nếu \(n\) lẻ thì \(A\equiv -1\equiv 2\pmod 3\), khi đó $A$ không thể là số chính phương.
Do đó $n$ chẵn.
\(n=0\Rightarrow A=2305\not\in \text{scp}\)
\(n=2\Rightarrow A=2308\not\in \text{scp}\)
\(n=4\Rightarrow A=2320\not\in\text{scp}\)
\(n=6\Rightarrow A=2368\not\in\text{scp}\)
Nếu \(n\geq 8\)
\(A=2^8(1+2^3+2^{n-8})\in\text{scp}\Leftrightarrow 1+2^3+2^{n-8}\in\text{scp}\)
\(\Leftrightarrow 9+2^{n-8}=t^2\)
\(\Leftrightarrow 2^{n-8}=t^2-9=(t-3)(t+3)\)
Do đó tồn tại \(a,b\in\mathbb{N}\) sao cho \(\left\{\begin{matrix} t-3=2^a\\ t+3=2^b\end{matrix}\right.(a+b=n-8)\)
\(\Rightarrow 6=2^b-2^a=2^a(2^{b-a}-1)=2.3=1.6\)
+) Nếu \(2^a=1; 2^{b-a}-1=6\Rightarrow 2^{b-a}=7\) (vô lý)
+) Nếu \(2^a=2; 2^{b-a}-1=3\Rightarrow a=1; b=3\)
\(\Rightarrow n-8=4\Leftrightarrow n=12\) (thỏa mãn)
Vậy \(n=12\)
b)
\(B=2^n+3^n+4^n=(-1)^n+0+1\pmod 3\)
\(\Leftrightarrow B\equiv (-1)^n+1\pmod 3\)
Nếu $n$ chẵn thì \(B\equiv 2\pmod 3\), khi đó B không thể là scp.
Do đó $n$ lẻ.
\(B=2^n+3^n+4^n\)
\(B=(2^{n-1}+1)^2+3^n+4^n-1-4^{n-1}\)
\(B=(2^{n-1}+1)^2+3^n+3.4^{n-1}-1\)
Ta thấy $B$ luôn là số lẻ với mọi số tự nhiên $n$
Bổ đề: Một số chính phương lẻ luôn chia 8 dư 1
Chứng minh:
Xét \(a=4k+1\Rightarrow a^2=16k^2+8k+1=8(2k^2+k)+1\equiv 1\pmod 8\)
Xét \(a=4k+3\Rightarrow a^2=16k^2+24k+9=8(2k^2+3k+1)+1\equiv 1\pmod 8\)
Do đó ta có đpcm.
Áp dụng vào bài toán. Vì $B$ là số lẻ mà $B$ cần là một số chính phương nên
\(B\equiv 1\pmod 8(*)\)
Với \(n>2\Rightarrow (2^{n-1}+1)^2\) là scp lẻ nên \((2^{n-1}+1)^2\equiv 1\pmod 8\) (1)
\(3^n=3^{2t+1}\equiv 1^t.3\equiv 3\pmod 8\) (2) (do $n$ lẻ)
\(4^{n-1}\equiv 0\pmod 8\Rightarrow 3.4^{n-1}\equiv 0\pmod 8\) (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra \(B\equiv 1+3-1\equiv 3\not\equiv 1\pmod 8\)
Mâu thuẫn với $(*)$
Do đó \(n\leq 2\Rightarrow n=1\) (thỏa mãn)
Vậy \(n=1\)
Bài 3:
Theo đề bài gọi ba cạnh tương ứng với ba góc $A,B,C$ là $a,a+1,a+2$
Ta có:
\(\angle 3A+2\angle B=180^0=\angle A+\angle B+\angle C\)
\(\Leftrightarrow 2\angle A+\angle B=\angle C\) (1)
Trên đoạn $AB$ lấy $E$ sao cho \(AC=AE\)
Tam giác $ACE$ cân tại $A$ nên \(\angle ACE=\angle AEC\)
\(\Leftrightarrow \angle ACE=\angle ECB+\angle EBC\)
\(\Rightarrow \angle ACB=\angle ACE+\angle ECB=2\angle ECB+\angle EBC\)
\(\Leftrightarrow \angle C=2\angle ECB+\angle B\) (2)
Từ (1); (2) suy ra \(\angle ECB=\angle A=\angle BAC\)
Do đó \(\triangle ABC\sim \triangle CBE(g.g)\)
\(\Leftrightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{CB}{BE}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+2}{a}=\frac{a}{AB-AE}=\frac{a}{AB-AC}=\frac{a}{(a+2)-(a+1)}=a\)
\(\Leftrightarrow a^2-a-2=0\)
\(\Leftrightarrow a=2\) (chọn) hoặc \(a=-1\) (loại)
Do đó 3 cạnh tam giác là 2,3,4 (cm)
