1/ \(\Leftrightarrow\left|x^2-3x+2\right|-3x^2-5x\ge3m^2+5m\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\left|x^2-3x+2\right|-3x^2-5x\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=-2x^2-8x+2=-2\left(x+2\right)^2+10\le10\)
- Với \(1< x< 2\Rightarrow f\left(x\right)=-4x^2-2x-2\) \(\Rightarrow-22< f\left(x\right)< -8\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì \(3m^2+5m\le maxf\left(x\right)\)
\(\Rightarrow3m^2+5m\le10\)
\(\Leftrightarrow3m^2+5m-10\le0\Rightarrow\frac{-5-\sqrt{145}}{6}\le m\le\frac{-5+\sqrt{145}}{6}\)
Câu 2:
\(\Leftrightarrow\left|x^2+x-6\right|-4x=m\)
Xét \(f\left(x\right)=\left|x^2+x-6\right|-4x\)
Với \(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-3x-6\)
\(-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\notin\left(-\infty;-3\right)\cup\left(2;+\infty\right)\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left(-\infty;-3\right)\); đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\)
Với \(-3< x< 2\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=-x^2-5x+6\)
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2}\in\left[-3;2\right]\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(-3;-\frac{5}{2}\right)\) ; nghịch biến trên \(\left(-\frac{5}{2};2\right)\)
Ta có \(f\left(-3\right)=12\) ; \(f\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{49}{4}\); \(f\left(2\right)=-8\)
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta thấy để pt có 4 nghiệm \(\Rightarrow12< m< \frac{49}{4}\)
