Question

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(A=\sqrt{3+2x-x^2}\)

2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2007}\)

Answer 1

Bài 1:

\(A=\sqrt{3+2x-x^2}=\sqrt{-x^2+2x-1+4}\)

\(=\sqrt{-\left(x^2-2x+1\right)+4}\)

\(=\sqrt{-\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(-\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(A_{Min}=2\) khi \(x=1\)

Answer 2

1)A=\(\sqrt{3+2x-x^2}\)=\(\sqrt{4-\left(x-1\right)^2}\)\(\ge\sqrt{4}=2\)

vậy MinA=2 tại x-1=0<=> x=1

2)\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2007}\)

<=>\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\sqrt{223}\)

Mà vế phải là số vô tỉ nên để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\sqrt{x},\sqrt{y}\) có dạng a\(\sqrt{223}\)(a\(\in N\))

đặt \(\sqrt{x}=m\sqrt{223}\);\(\sqrt{y}=n\sqrt{223}\)(m,n\(\in N\))

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\sqrt{223}\)

<=>m\(\sqrt{223}+n\sqrt{223}\)=\(3\sqrt{223}\)

<=>m+n=3

khi đó ta có các cặp (m;n) sau (0;3);(3;0);(1;2);(2;1)

các giá trị (x;y) theo thứ tự sẽ là (0;2007);(2007;0);(223;892);(892;223)