1 . Chứng minh \(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
2 .
Cho đường tròn tâm O bán kính R và M là điểm cố định nằm bên trong đường tròn. Qua M vẽ hai dây di động AB ,CD vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng \(AC^2+BD^2=AD^2+BC^2\) và \(AD^2+BC^2\) không đổi b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng \(IO^2+IM^2=R^2\) suy ra quỹ tích của điểm I
a ) Ta co \(AC^2+BD^2=MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\)
\(=\left(MA^2+MD^2\right)+\left(MB^2+MC^2\right)=AD^2+BC^2\)
Kẻ đường kính CE ta có \(\widehat{CDE}=90^0\)
Hay \(CD\perp DE\)
\(\Rightarrow DE\)// \(AB\) nên tứ giác ABED là hình thang cân
\(\Rightarrow AD=BE\)
Ta có : \(AD^2+BC^2=BE^2+BC^2=CE^2=4R^2\) không dổi
b ) Vì IB = IC = IM nên \(IO^2+IM^2=OC^2-IM^2+IM^2=R^2\)
Gọi J là trung điểm của MO . Áp dụng công thức đường trung tuyến trong \(\Delta IMO\) Ta có : \(IJ=\sqrt{\frac{IO^2+IM^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}\) ( không dổi vì OM cố định ) Do đó I chạy trên đường tròn tâm J bán kính IJ không đổi Chúc bạn học tốt !!
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát:
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(n+1-\sqrt{n(n+1)}+n)}\)\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-\sqrt{n(n+1)}+n}\leq \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n(n+1)}-\sqrt{n(n+1)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Dấu "=" xảy ra khi $n+1=n$ (vô lý)
Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Thay $n=1,2,.....$
$\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$
......
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ (đpcm)
