Question

1. Cho \(x,y,z>1\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\) . Cmr \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)

2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\) . Tính Min của \(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\)

3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\) . Tính min của \(B=a+b+c+\dfrac{1}{abc}\)

4. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ac=6\) . Tính Max của \(C=abc\)

5. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=2\) . Tính Max của \(D=abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Giúp mk nhanh nhé mn ơi

Answer 1

giải tạm 1 bài z -,-

2) Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=2\)

Chúc bạn học tốt ~

Answer 2

4/ Ta có: \(6=a+b+c+ab+bc+ca\ge3\left(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+\sqrt[3]{abc}\right)\)

Đặt \(\sqrt[3]{abc}=t\Rightarrow t^2+t\le2\Rightarrow t\le1\Rightarrow t^3=C=abc\le1\)

Vậy...

5/ \(D\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3.\left[\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right]^3=\frac{512}{729}\)

Vậy ...

P/s: Em không chắc

Answer 3

Từ giả thiết suy ra \(a+b+c\le\sqrt{3}\)

Có: \(B\ge a+b+c+\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}\)

\(=3\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)+\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}-8\left(a+b+c\right)\)

\(\ge4\sqrt[4]{729}-8\sqrt{3}=4\sqrt{27}-8\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

True?