Question

1) CHo tứ giác ABCD; M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

CM: \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\)  

       \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\)

Answer 1

Lời giải:
Xét tam giác $ABD$ có $MQ$ là đường trung bình ứng với cạnh $BD$

$\Rightarrow QM\parallel DB, \overline{MQ}=\frac{1}{2}\overline{BD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}(*)$

Tương tự:

$\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$

Việc cm $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$ tương tự.

 

Answer 2

Hình vẽ:

Answer 3

\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

⇔ \(\overrightarrow{NP}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{BD}\)

Tương tự có \(\overrightarrow{MQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\) nên \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\)

Do \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\) nên \(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP}\)

vậy \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\)