Lời giải:
a)
Kẻ \(AH\perp CD\). Do tam giác $ACD$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $CD$.
Tam giác $BCD$ có $BC=BD$ nên là tam giác cân, do đó \(BH\perp CD\)
Xét thấy \(\left\{\begin{matrix} AH\perp CD\\ BH\perp CD\end{matrix}\right.\Rightarrow (AHB)\perp CD\Rightarrow AB\perp CD\)
b)
Có \(\left\{\begin{matrix} AH\perp CD\\ AH\perp BH\end{matrix}\right.\Rightarrow AH\perp (BCD)\) hay $AH$ là đường cao hạ từ $A$ của tứ diện $ABCD$
Tam giác \(ACD\) có \(AC^2+AD^2=CD^2\Rightarrow \triangle ACD\) vuông tại $A$
\(\Rightarrow AH=CH=HD=\frac{CD}{2}=a\)
Ta cũng chứng minh được tam giác $BCD$ vuông tại $B$
Do đó, \(V_{ABCD}=\frac{1}{3}.AH.S_{BCD}=\frac{1}{3}.a.\frac{\sqrt{2}a.\sqrt{2}a}{2}=\frac{a^3}{3}\)
