1 . Cho \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) với \(a,b,c>0\) . Chứng tỏ rằng M không là môt số nguyên
2 . Cho các số a,b,c không âm thỏa mãn \(a+3c=2016;a+2b=2017\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=a+b+c\)
Các bạn giúp mình ạ : Bạn @Vũ Minh Tuấn , @Băng Băng 2k6 , @Phạm Lan Hương , @HISINOMA KINIMADO VÀ CÔ @Akai Haruma giúp em với ạ !!!
1.
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo các vế trên ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\) (1).
Lại có công thức: \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right).\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo các vế trên ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\) (2).
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2.\)
Hay \(1< M< 2.\)
\(\Rightarrow M\) không phải là một số nguyên (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
