Question

1. Cho hàm số y=x⁴+2(m-4)x²+m+5. Tìm số thực m để đồ thị có ba điểm cự trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

2. Cho hàm số y=x⁴-2mx²+m-1. Gọi m₀ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm

3. Cho hàm số y=3x⁴+2(m-2018)x²+2017 với m là tham soos thực . tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120⁰

Answer 1

Bài 1:

\(y=x^4+2(m-4)x^2+m+5\)

\(\Rightarrow y'=4x^3+4(m-4)x\)

\(y'=0\Leftrightarrow x(x^2+m-4)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x^2=4-m\end{matrix}\right.\)

Để đths có 3 điểm cực trị thì \(y'=0\) phải có ít nhất 3 nghiệm pb. Khi đó \(4-m>0\Rightarrow m< 4\)

Khi đó, các điểm cực trị là:

\((0; m+5)\)

\((\sqrt{4-m}, -m^2+9m-11)\)

\((-\sqrt{4-m}, -m^2+9m-11)\)

Nếu $O$ là trọng tâm:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{0+\sqrt{4-m}-\sqrt{4-m}}{3}=x_O=0\\ \frac{m+5+2(-m^2+9m-11)}{3}=y_O=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow -2m^2+19m-17=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{17}{2}\\ m=1\end{matrix}\right.\)

Vì $m< 4$ nên $m=1$

Answer 2

Bài 2:
\(y'=4x^3-4mx=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x^2=m\end{matrix}\right.\)

Để hàm bậc 4 có 3 cực trị thì $y'=0$ phải có 3 nghiệm pb, suy ra $m>0$

Khi đó: \(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=\sqrt{m}\\ x=-\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)

Ba điểm cực trị:

\(A(0; m-1)\)

\(B(\sqrt{m}; -m^2+m-1)\)

\(C(-\sqrt{m}; -m^2+m-1)\)

Suy ra:

\(\overrightarrow{BC}=(-2\sqrt{m};0)\); \(\overrightarrow{AB}=(\sqrt{m}; -m^2)\)

\(\overrightarrow{OA}=(0;m-1)\); \(\overrightarrow{OC}=(-\sqrt{m}; -m^2+m-1)\)

Vì $O$ là trực tâm nên : \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OA}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2\sqrt{m}.0+0.(m-1)=0\\ -m+m^2(m^2-m+1)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m(m^3-m^2+m-1)=0\)

\(\Leftrightarrow m(m^2+1)(m-1)=0\Rightarrow m=1\) vì \(m>0\)

Vậy.......

Answer 3

Bài 3:

Ta có: \(y'=12x^3+4(m-2018)x\)

\(y'=0\Leftrightarrow x(3x^2+m-2018)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x^2=\frac{2018-m}{3}\end{matrix}\right.\)

Để đths có 3 điểm cực trị thì \(\frac{2018-m}{3}>0\Rightarrow m< 2018\)

3 điểm cực trị là:

\(A(0,2017)\)

\(B(\sqrt{\frac{2018-m}{3}}; 2017-\frac{(2018-m)^2}{3})\)

\(C(-\sqrt{\frac{2018-m}{3}}; 2017-\frac{(2018-m)^2}{3})\)

Dễ thấy tam giác $ABC$ cân tại $A$. Khi đó, nếu $ABC$ có chứa một góc $120^0$ thì góc đó là góc \(\widehat{BAC}\)

\(AB^2=AC^2=\frac{2018-m}{3}+\frac{(2018-m)^4}{9}\)

\(BC^2=\frac{4(2018-m)}{3}\)

Theo định lý cos:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos 120\)

\(\frac{4(2018-m)}{3}=\frac{2(2018-m)}{3}+\frac{2(2018-m)^4}{9}+\frac{2018-m}{3}+\frac{2018-m)^4}{9}\)

giải pt ta tìm đc $m=2017$ or $m=2018$, vì $m < 2018$ nên $m=2017$