Question

1) Cho các số x,y thỏa mãn x \(\ge\)0; y \(\ge\)0 và x + y = 1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x² + y².

2) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}\cdot\dfrac{ab}{c}}=2b\)

\(\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{b}\cdot\dfrac{ab}{c}}=2a\)

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}\cdot\dfrac{ac}{b}}=2c\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn ta có:

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)