1. Cho biểu thức A= \(\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)và B=\(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\)(x\(\ge\)0 x\(\ne\)1)
a. Tính giá trị của A tại x =4
b. Rút gọn biểu thức B
c. Cho P= B:A . Chứng minh 0\(\le\)P<2
2. Một mảnh vường làm hình chữ nhật có diện tích bằng 192 m2 . Nếu tăng chiều rộng thêm 1m đồng thời giảm chiều rộng đi 3m thì ta được một mảnh vườn hình vuông . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc ban đầu?
3.
a. cho đường thẳng (d1) : y=x+2; (d2) :y=2x+1; (d3): y=(m2+1)x+m (m là tham số )
tìm m để 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm
b. Cho phương trình : x2-20x+m+5 =0 tìm m để phương trinh(*) có 2 nghiệm x1;x2 là số nguyên tố.
4. Cho nửa (O;R) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn đó ( tia Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa nửa (O) ). Từ điểm M bất kỳ trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ 2 MC với nửa đường tròn ( C là tiếp điểm ). AC cắt OM tại E, MB cắt nửa (O) tại D ( D khác B )
a. Chứng minh tứ giác ACOM nội tiếp một đường tròn
b. Chứng minh AC2=4.OE.ME
c. Chứng minh góc ADE bằng góc ACO
Bài 1:
a) Tại $x=4$ thì \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{2}=\frac{\sqrt{4}-1}{2}=\frac{1}{2}\)
b)
\(B=\frac{x+2}{(\sqrt{x})^3-1}+\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{x-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\)
c) \(P=\frac{B}{A}=\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-1}{2}=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
Vì \(x+\sqrt{x}+1>0, \forall x\geq 0\Rightarrow P=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}>0\)
Mặt khác: \(x+\sqrt{x}+1\geq 0+0+1=1, \forall x\geq 0\)
\(\Rightarrow P=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\leq \frac{2}{1}=2\)
Do đó: \(0< P\leq 2\). Ta có đpcm.
Bài 2:
Giả sử chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu lần lượt là $a$ và $b$ (m) ($a,b>0$)
Diện tích mảnh vườn: \(S=ab=192(1)\)
Khi giảm chiều dài 3m, tăng chiều rộng 1m thì mảnh vườn là hình vuông
\(\Rightarrow a-3=b+1\Leftrightarrow a=b+4(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+4\\ (b+4)b=192\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=12\\ a=16\end{matrix}\right.\) (m)
Vậy chiều dài và chiều rộng lúc đầu của mảnh vườn là $16$ m và $12$ m
Bài 3:
a)Gọi $M$ là giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$:
\(y_M=x_M+2=2x_M+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_M=1\\ y_M=3\end{matrix}\right.\)
Để $(d_1),(d_2),(d_3)$ đồng quy thì $M$ cũng phải thuộc $(d_3)$
\(\Rightarrow y_M=(m^2+1)x_M+m\)
\(\Leftrightarrow 3=(m^2+1).1+m\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\Rightarrow m=1\) hoặc $m=-2$. Nếu $m=1$ thì $(d_2)$ trùng $(d_3)$ nên không thỏa mãn.
Do đó $m=-2$
b)
Để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì trước tiên \(\Delta'=100-(m+5)>0\Leftrightarrow m< 95\)
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=20\\ x_1x_2=m+5\end{matrix}\right.\)
Giả sử $x_1$ là số nguyên tố nhỏ hơn. \(\Rightarrow 20=x_1+x_2> 2x_1\Rightarrow x_1< 10\); \(x_1\in\mathbb{P}\Rightarrow x_1\in \left\{2;3;5;7\right\}\)
\(\Rightarrow x_2\in\left\{18;17;15;13\right\}\) (tương ứng)
Vì $x_1,x_2$ đều nguyên tố nên \((x_1,x_2)=(3,17); (7,13)\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m+5=x_1x_2=3.17=51\\ m+5=x_1x_2=7.13=91\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=46\\ m=86\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)
Vậy.........
Bài 4:
a)
Vì $MA,MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(MA\perp OA: MC\perp OC\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MCO}\)
Xét tứ giác $ACOM$ có tổng 2 góc đối nhau \(\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=90^0+90^0=180^0\) nên $ACOM$ là tứ giác nội tiếp.
b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $MA=MC$
Mà $OA=OC(=R)$ nên $MO$ là đường trung trực của $AC$
Do đó $MO$ vuông góc $AC$ tại trung điểm $E$ của $AC$.
$E$ là trung điểm $AC$ \(\Rightarrow 2AE=AC\Rightarrow 4AE^2=AC^2(1)\)
Xét tam giác $MAE$ và $AOE$ có:
\(\widehat{MEA}=\widehat{AEO}=90^0\)
\(\widehat{MAE}=\widehat{AOE}(=90^0-\widehat{EAO})\)
\(\Rightarrow \triangle MAE\sim \triangle AOE(g.g)\Rightarrow \frac{ME}{AE}=\frac{AE}{OE}\)
\(\Rightarrow AE^2=OE.ME\Rightarrow 4AE^2=4OE.ME(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AC^2=4OE.ME\) (đpcm)
c)
Ta có \(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow \widehat{MDA}=180^0-\widehat{ADB}=90^0\)
Ở phần b ta đã chỉ ra $MO\perp AC$ tại $E$ nên $\widehat{MEA}=90^0$
Xét tứ giác $MDEA$ có \(\widehat{MDA}=\widehat{MEA}(=90^0)\) và cùng nhìn cạnh $MA$ nên $MDEA$ là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AME}\)
Mà \(\widehat{AME}=\widehat{CAO}(=90^0-\widehat{MAE})\)\(=\widehat{ACO}\) (do tam giác $OCA$ cân tại $O$)
\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ACO}\) (đpcm)
