Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hải An

1, Cho a,b,c là số thực dương và abc =1 . CMR :

\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\)+ \(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}\) + \(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) \(\ge\)\(\dfrac{3}{2}\)

2, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca = abc

CM : \(\dfrac{1}{a+2b+3c}\)+ \(\dfrac{1}{2a+3b+c}\) + \(\dfrac{1}{3a+b+2c}\)< \(\dfrac{3}{16}\)

Akai Haruma
5 tháng 8 2018 lúc 18:23

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^3(b+c)}.\frac{a(b+c)}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}\geq \frac{1}{b}=ac\)

\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq \frac{1}{c}=ab\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM: \(ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow \text{VT}\ge \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Akai Haruma
5 tháng 8 2018 lúc 18:28

Lời giải:

Đặt vế trái là $A$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)

Hoàn toàn TT:

\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)

\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36A\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Theo đkđb: \(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Do đó: \(A\leq \frac{1}{6}< \frac{3}{16}\) (đpcm)

fsdf
26 tháng 2 lúc 13:21

 

 

1a3(b+c)\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+ 1b3(c+a)\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)} + 1c3(a+b)\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)} ≥\ge32\dfrac{3}{2}

 


Các câu hỏi tương tự
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Yu gi Oh Magic
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Ba Dao Mot Thoi
Xem chi tiết