Question

Answer 1

Câu 3b)

Ta luôn có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (*)

Thật vây, (*) \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Đặt  A =  \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\)

 Áp dụng (*) ta có :  \(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}=4+2=6\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\ge6\), đạt được \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

 

Answer 2

Câu 2c :

\(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)=12\). Đặt \(t=x^2+x\left(t\ge0\right)\)

Pt trở thành : \(t^2+4t-12=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(n\right)\\t=-6\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

+) với t = 2 , có : \(x^2+x-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Answer 3

Câu 4.2:

(Phản chứng) Giả sử không tồn tại tam giác nào có các cạnh cùng màu.

- Xét điểm A trong 17 điểm đó trên mặt phẳng. Có 16 đoạn thẳng nối từ A đến các điểm còn lại, gọi X là tập hợp 16 đoạn thẳng đó.

- Vì các đoạn thẳng được tô 3 màu: xanh, đỏ hoặc vàng, do đó theo nguyên lí Dirichlet sẽ có ít nhất 6 đoạn thẳng trong X cùng tô một màu.

-Gọi B,C,D,E,F,G là các điểm trong X sao cho các đoạn BC,BD,BE,BF,BG được tô màu xanh, gọi Y là tập hợp các đoạn đó. Theo giả sử ta chỉ có thể tô các đoạn thẳng ấy bảng màu đỏ hoặc vàng. Do đó theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất 3 đoạn trong Y cùng màu. Giả sử ba đoạn BC,BD,BE được tô màu đỏ. Khi đó các đoạn CD,DE,CE phải tô màu vàng (theo giả sử) => Tam giác CDE được tô màu vàng, mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử sai. Do đó ta có đpcm.

 

 

Answer 4

Câu 3:

a) \(A=\dfrac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}\) \(\left(x\ne1\right)\)

\(\Rightarrow A\left(x^2-2x+1\right)=3x^2-8x+6\)

\(\Leftrightarrow\left(3-A\right)x^2+2\left(A-4\right)x+6-A=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số A, ta có:

\(\Delta'=\left(A-4\right)^2-\left(3-A\right)\left(6-A\right)=A^2-8A+16-\left(A^2-9A+18\right)=A-2\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Rightarrow A-2\ge0\Leftrightarrow A\ge2\)

Khi \(A=2\) thì \(x=2\)

Vậy \(MinA=2\Leftrightarrow x=2\)