\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+2m=m^2-2m+1+2m=m^2+1>\forall m.\)
⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Viét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\x_1.x_2=-2m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow x_2=2\left(m-1\right)-x_1\), thay vào biểu thức \(x_1^2+x_1-x_2=5-2m\) ta được :
\(x^2_1+x_1-2\left(m-1\right)+x_1=5-2m\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-3=0\).
Xét thấy \(a+b+c=1+2-3=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_1=-3\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế \(\left(1\right)\left(2\right)\) ta được : \(x_1+x_2+x_1x_2=2\left(m-1\right)-2m=-2\)
+) Nếu \(x_1=1\Rightarrow1+x_2+x_2=-2\) \(\Leftrightarrow x_2=-\dfrac{3}{2}\)
thay vào (2) \(\Rightarrow-2m=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
+) nếu \(x_1=-3\Rightarrow-3+x_2-3x_2=-2\Leftrightarrow x_2=-\dfrac{1}{2}\)
thay vào (2) \(\Rightarrow\dfrac{3}{2}=-2m\Leftrightarrow m=-\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(m=\dfrac{3}{4}\) hoặc \(m=-\dfrac{3}{4}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_1x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_1-x_2=5-2m\)
