\(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9=0\) có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+3=0\) (1)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-3>0\) (2)
Khi đó hoành độ cực trị sẽ là nghiệm của (1)
Tiến hành chia y cho y' và lấy phần dư ta được pt đường thẳng d qua 2 cực trị:
\(y=\left(-2m^2-4m+4\right)x+4m+1\)
Để 2 điểm đối xứng nhau thì trước hết cần có \(d\perp\Delta\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(-2m^2-4m+4\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\)
- Với \(m=1\) pt d có dạng: \(y=-2x+5\)
Gọi I là trung điểm 2 cực trị \(\Rightarrow x_I=\dfrac{x_1+x_2}{2}=m+1=2\) (với \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1))
\(y_I=-2x_I+5=1\) \(\Rightarrow I\left(2;1\right)\in\Delta\) (thỏa mãn)
- Với \(m=-3\Rightarrow\) d có dạng: \(y=-2x-11\)
\(x_I=m+1=-2\Rightarrow y_I=-2x_I-11=-7\left(ktm\right)\)
Vậy \(m=1\)
