1 số gợi ý

hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(2x-2y-1\right)=6\left(y+2\right)\\6y+12\sqrt{2x-1}=2y^2-2x+46\end{matrix}\right.\)(1)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=t\left(t\ge0\right)\)

(1)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(t^2+1\right)\left(t^2-2y\right)=6\left(y+2\right)\left(2\right)\\6y+12t=2y^2-t^2+45\end{matrix}\right.\)

(2)\(\Leftrightarrow\left(t^2+4\right)\left(t^2-2y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2y-3=0\)

ta có hpt mới sau : \(\left\{{}\begin{matrix}t^2-2y-3=0\\2y^2-t^2+45=6y+12t\end{matrix}\right.\)

một cách trâu bò nhưng hiệu quả là

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{t^2-3}{2}\\2y^2-t^2-6y-12t+45=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{t^2-3}{2}\\2\left(\dfrac{t^2-3}{2}\right)^2-t^2-6\left(\dfrac{t^2-3}{2}\right)-12t+45=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{t^2-3}{2}\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\t=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=5\end{matrix}\right.\)

Áp dụng AM-GM có

\(\dfrac{x^3}{y^2}+y+y\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^2}.y.y}=3x\)

Tương tự . \(\dfrac{y^3}{z^2}+z+z\ge3y\); \(\dfrac{z^3}{x^2}+x+x\ge3z\)

cộng lại ta được

\(VT+2\left(x+y+z\right)\ge3\left(x+y+z\right)\rightarrow VT\ge x+y+z=VP\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\)

gợi ý \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2-\dfrac{x}{y}=1\left(1\right)\\\dfrac{x}{y}-2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Đem \(\left(1\right)+\left(2\right):\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2-2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=0\)

đến đây chắc bạn có thể tự làm được

\(x^2=120\Leftrightarrow x=\pm2\sqrt{30}\)

alo alo

hehe