Gọi $x$ (tấn) là khối lượng than khai thác theo kế hoạch. ĐK: $x > 0$.

Thời gian dự định làm là $\dfrac{x}{50}$ (ngày)

Khối lượng than thực tế khai thác là $x + 25$ (tấn)

Thời gian thực tế làm là $\dfrac{x+25}{55}$ (ngày)

Vì thời gian hoàn thành sớm hơn kế hoạch 3 ngày nên ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{{50}} - \dfrac{{x + 25}}{{55}} = 3 \Leftrightarrow 11x - 10\left( {x + 25} \right) = 1650 \Leftrightarrow x = 1900\left( {TM} \right)\)

Vậy theo kế hoạch, đội phải khai thác $1900$ tấn than.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ y > 1\\ x + y > 0 \end{array} \right.\)

Hệ phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} + \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} = 2\\ {\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x + y}}} \right)^2} + \left( {\dfrac{{y - 1}}{{x + y}}} \right)^2 = 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} \\ b = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} \end{array} \right.\) (với \(a,b > 0\))

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} = 2 \end{array} \right.\left( * \right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(\begin{array}{l} 2 = a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \Rightarrow ab \leqslant 1\\ 2 = \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{1}{{{a^4}}}.\dfrac{1}{{{b^4}}}} \Rightarrow ab \geqslant 1 \end{array}\)

Thế nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow a = b = 1\)

Ta lại có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{x + y}}{{x + 2}} = 1\\ \dfrac{{x + y}}{{y - 1}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 2 \end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \((-1;2)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{{{x^2}}} + 3}}{{ - \sqrt {2 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} }} = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{x^6}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + 1}}}}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} }} = - 1\)

Ta có: \(0 \leqslant \left| {\cos 5x} \right| \leqslant 1 \Longrightarrow 0 \leqslant \left| {\dfrac{{\cos 5x}}{{2x}}} \right| \leqslant \dfrac{1}{{\left| {2x} \right|}},\forall x \ne 0\)

Mà: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{{\left| {2x} \right|}} = 0 \Longrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\cos 5x}}{{2x}} = 0\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^3}}}} \right)}}{{1 + \dfrac{6}{{{x^3}}} + \dfrac{5}{{{x^4}}}}} = - \infty \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^5}}}}}{{\dfrac{3}{{{x^3}}} - \dfrac{7}{{{x^5}}}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{0^ - }}} = + \infty \)

Ta có: \(x-1=0\Rightarrow x=1\),\(x+3=0 \Rightarrow x = - 3\)

BXD:

Vậy \(T=(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)\)