Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}=VP\)

 Ký hiệu (abcd) là số tự nhiên có 4 chữ số. 
(abcd) + (abc) + (ab) + (a) = 1111.a + 111.b + 11.c + d 
Vậy 1111.a + 111.b + 11.c + d = 4321 
+ Nếu a < 3 => 111.b + 11.c + d > 2098 (vô lý vì b, c, d < 10) 
+ Nếu a > 3 => vế trái > 4321 
Vậy a = 3 => 111.b + 11.c + d = 988 
+ Nếu b < 8 => 11.c + d > 210 (vô lý vì c, d < 10) 
+ Nếu b > 8 => vế trái > 988 
Vậy b = 8 => 11.c + d = 100 
+ Nếu c < 9 => d > 11 (vô lý) 
Vậy c = 9; d = 1 
=> (abcd) = 3891

a)sai đề có lẽ x-1 thành x+1

b)Đặt \(x^2+5x=t\) và

\(x\left(x+5\right)\left(x^2+5x+10\right)\)

a)\(2\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\)

b)\(\left(2x^2-6x+5\right)\left(2x^2+6x+5\right)\)

c)\(\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)\)

a)\(x^4-7x^2+1\)

\(=x^4+2x^2+1-9x^2\)

\(=\left(x^2+1\right)^2-\left(3x\right)^2\)

\(=\left(x^2+1-3x\right)\left(x^2+1+3x\right)\)

b)\(4x^4-12x^2+1\)

\(=4x^4+4x^2+1-16x^2\)

\(=\left(2x^2+1\right)^2-\left(4x\right)^2\)

\(=\left(2x^2+1+4x\right)\left(2x^2+1-4x\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\ge0\)

Xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(B=\left|x-2011\right|+\left|x-2\right|\)

\(=\left|x-2011\right|+\left|2-x\right|\)

\(\ge\left|x-2011+2-x\right|=2009\)

Xảy ra khi \(2\le x\le2011\)

Ta có BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Lợi dụng BĐT Cauchy-Schwarz tao cso:

\(VT^2=\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+9\right)\)

\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+9\right)\)

Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\left(t\ge3\right)\) thì cần chứng minh:

\(3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+9\right)\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+9\right)\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(t+9\right)\le4t^2\Leftrightarrow-\left(t-3\right)\left(4t+9\right)\le0\) (Đúng)

nhân 2010 với A và B rút gọn là xong

Xài BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(A=\left|x\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x+8-x\right|=8\)

Khi \(0\le x\le 8\)