góc C =30 độ, góc D=60 độ

Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) . Do đó , hình chóp tam giác đều với cạnh đáy a , chiều cao h có thể tích :

\(V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.h=\dfrac{a^2h\sqrt{3}}{12}\)

a) Nếu tăng gấp đôi chiều cao thì thể tích hình chóp là

\(V'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.2h=2.\dfrac{a^2h\sqrt{3}}{12}=2V\)

b) Nếu tăng gấp đôi cạnh đáy thì thể tích hình chóp là

\(V'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\left(2a\right)^2\sqrt{3}}{4}.h=4.\dfrac{a^2h\sqrt{3}}{12}=4V\)

c) Nếu gấp đôi cả chiều cao và cạnh đáy thì thể tích hình chóp là

\(V'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\left(2a\right)^2\sqrt{3}}{4}.2h=8.\dfrac{a^2h\sqrt{3}}{12}=8V\)

Trải 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Để đi đường ngắn nhất từ M đến M' ( M' chính là trung điểm của A'D' trên mặt khai triển ) thì con kiến cần bò theo đoạn thẳng MM' . Trên chiếc hộp , đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM ( dễ thấy N , P ,Q , K , Z lần lượt là trung điểm của DD' , CD , BC , BB' , A'B' )

Ta có : \(\left|3x-2\right|+2x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-2\right|=-2x-5\left(1\right)\)

Điều kiện : \(-2x-5\ge0\Leftrightarrow-2x\ge5\Leftrightarrow x\le\dfrac{-5}{2}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-2=-2x-5\\3x-2=-\left(-2x-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+2x=2-5\\3x-2x=5+2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x=-3\\x=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-3}{5}\\x=7\end{matrix}\right.\) (KTMĐK)

Vậy phương trình vô nghiệm \(S=\varnothing\)

Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử \(1\le a\le b< c\)

Ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=c^2\left(1\right)\\ab=3\left(a+b+c\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow c^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow c^2=\left(a+b\right)^2-6\left(a+b+c\right)\left(theo\left(2\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-6\left(a+b\right)=c^2+6c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-6\left(a+b\right)+9=c^2+6c+9\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-3\right)^2=\left(c+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b-3=c+3\) do \(a+b\ge3\)

\(\Leftrightarrow c=a+b-6\)

Thay vào (2) ta được : \(ab=3\left(a+b+a+b-6\right)\)

\(\Leftrightarrow ab=3a+3b+3a+3b-18\)

\(\Leftrightarrow ab-6a-6b+18=0\)

\(\Leftrightarrow ab-6b-6a+36=18\)

\(\Leftrightarrow b\left(a-6\right)-6\left(a-6\right)=18\)

\(\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(b-6\right)=18\)

Phân tích 18 = 1.18 = 2.9 = 3.6 nên ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a-6=1\\b-6=18\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a-6=2\\b-6=9\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a-6=3\\a-6=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=24\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=15\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=9\\b=12\end{matrix}\right.\)

Từ đó ta có 3 tam giác vuông có các cạnh ( 7;24;25 ) và ( 8;15;17 ) và ( 9;12;15 ) thỏa mãn yêu cầu của bài toán .

\(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2x^2-5}{x^3-1}=\dfrac{4}{x^2+x+1}\left(1\right)\) MTC :\(x^3-1\)

Đk : \(x^3-1\ne0\Leftrightarrow x\ne1\)

(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x+1}{x^3-1}+\dfrac{2x^2-5}{x^3-1}=\dfrac{4\left(x-1\right)}{x^3-1}\)

\(\Rightarrow x^2+x+1+2x^2-5=4x-4\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\left(KTMĐK\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0\right\}\)

Ta có : \(x^2-5x+10=x^2-5.x.\dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\)

Vậy phương trình \(x^2-5x+10=0\) vô nghiệm

Ta có : \(15-\left(4-5x\right)>x+1\)

\(\Leftrightarrow15-4+5x>x+1\)

\(\Leftrightarrow5x-x>1-15+4\)

\(\Leftrightarrow4x>-10\)

\(\Leftrightarrow x>-2,5\)

Vậy số nguyên nhỏ nhất cần tìm là -2

Đổi 50 phút = \(\dfrac{5}{6}h\)

Gọi thời gian người đó đi xe đạp từ A đến B là : x (h) . Đk :

Quãng đường người đó đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 20km/h là : 20x (km)

Khi đó thời gian người đó đi xe đạp từ B về A là : x + \(\dfrac{5}{6}\) (h)

Quãng đường người đó đi xe đạp từ B về A với vận tốc 15km/h là : 15( x + \(\dfrac{5}{6}\) ) (km)

Theo đề bài , ta có phương trình :

\(20x=15\left(x+\dfrac{5}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow20x=15x+\dfrac{25}{2}\)

\(\Leftrightarrow5x=\dfrac{25}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=2,5\)

Vậy quãng đường AB dài : 2,5.20 = 50 km