Để tìm nghiệm của đa thức f(x), ta cho đa thức f(x) = 0.

\(\Leftrightarrow2x^2+3x+1=0\) \(\Leftrightarrow2x^2+2x+x+1=0\Leftrightarrow2x\times\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=-1\\x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1}{2}\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức f(x) là \(\dfrac{-1}{2}\) và \(-1\).

Ta có:

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Để \(A=5\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}=5\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}=4\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{4}\)

Vậy \(x=\dfrac{9}{4}\) thì \(A=5\).

a) \(P+\left(x^2-2y^2\right)=x^2-y^2+3y^2-1\)

\(\Rightarrow P=\left(x^2-y^2+3y^2-1\right)-\left(x^2-2y^2\right)\)

\(\Rightarrow P=x^2-y^2+3y^2-1-x^2+2y^2\)

\(\Rightarrow P=\left(x^2-x^2\right)-\left(y^2-3y^2-2y^2\right)-1\)

\(\Rightarrow P=4y^2-1\)

Vậy đa thức \(P\) là \(4y^2-1\).

Theo đề bài: \(f\left(x\right)=2x+3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x_1\right)=2\times x_1+3\\f\left(x_2\right)=2\times x_2+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=2\times x_1+3+2\times x_2+3=\left(2\times x_1+2\times x_2\right)+\left(3+3\right)\) \(=2\times\left(x_1+x_2\right)+6\) \(=2\times5+6=10+6=16\)

Vậy \(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=16\).

Vì \(x=1\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\)

nên thay \(x=1\) vào đa thức \(f\left(x\right)\), ta có:

\(f\left(1\right)=0\) \(\Leftrightarrow2\times1+m=0\) \(\Leftrightarrow2+m=0\) \(\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy \(m=-2\).