a) Để tìm nghiệm của đa thức \(3x-\dfrac{1}{5}\), ta cho đa thức \(3x-\dfrac{1}{5}=0\).

\(\Leftrightarrow3x=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{15}\)

Vậy nghiệm của đa thức \(3x-\dfrac{1}{5}\) là \(\dfrac{1}{15}\).

b) Để tìm nghiệm của đa thức \(2x^2-6x\), ta cho đa thức \(2x^2-6x=0\).

\(\Leftrightarrow x\times\left(2x-6\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức \(2x^2-6x\) là \(0\) và \(3\).

c) Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2+1\), ta cho đa thức \(x^2+1=0\).

\(\Leftrightarrow x^2=-1\)

Vì \(x^2\ge0\) với mọi \(x\)

nên \(x^2>-1\) với mọi \(x\)

Vậy đa thức \(x^2+1\) vô nghiệm.

d) Để tìm nghiệm của đa thức \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\), ta cho đa thức \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{3}{4}\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\x+\dfrac{3}{4}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{-3}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\) là \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{-3}{4}\).

Ta có: \(BC^2=15^2=225\)

\(AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). (Theo định lí Pytago đảo)

\(\Rightarrow\widehat{A}=90^o\)

Xét tam giác \(ABD\) có \(\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(ABD\), ta có:

\(BD^2=AB^2+AD^2=9^2+2^2=81+4=85\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{85}\approx9,22\)

Vậy khi đó độ dài \(BD\) là \(9,22\) cm.

Ta có: \(10^{2006}+53=1000...00053\)

Tổng các chữ số của \(10^{2006}+53\) là:

\(1+0+0+0+...+0+0+0+5+3=9\)

mà \(9⋮9\)

\(\Rightarrow10^{2006}+53⋮9\)

\(\Rightarrow\dfrac{10^{2006}+53}{9}\in N\)

Vậy \(\dfrac{10^{2006}+53}{9}\) là một số tự nhiên (đpcm).

Bài 1:

a) Để tìm nghiệm của đa thức \(\left(x-3\right)\left(4-5x\right)\), ta cho đa thức \(\left(x-3\right)\left(4-5x\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\4-5x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\5x=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức \(\left(x-3\right)\left(4-5x\right)\) là \(3\) và \(\dfrac{4}{5}\).

b) Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2-2\), ta cho đa thức \(x^2-2=0\).

\(\Leftrightarrow x^2=2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\sqrt{2}\\x=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức \(x^2-2\) là \(-\sqrt{2}\) và \(\sqrt{2}\).

c) Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2+\sqrt{3}\), ta cho đa thức \(x^2+\sqrt{3}=0\).

\(\Leftrightarrow x^2=-\sqrt{3}\)

Vì \(x^2\ge0\) với mọi \(x\)

nên \(x^2>-\sqrt{3}\)

Vậy đa thức \(x^2+\sqrt{3}\) vô nghiệm.

d) Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2+2x\), ta cho đa thức \(x^2+2x=0\).

\(\Leftrightarrow x\times\left(x+2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức \(x^2+2x\) là \(0\) và \(-2\).

e) Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2+2x-3\), ta cho đa thức \(x^2+2x-3=0\).

\(\Leftrightarrow x^2+2x=3\) \(\Leftrightarrow x^2+x+x+1=3+1\) \(\Leftrightarrow x\times\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=4\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+1\right)=4\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=4\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=-2\\x+1=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của đa thức \(x^2+2x-3\) là \(-3\) và \(1\).

Bài 2:

a) Ta có: \(f\left(x\right)=x\left(1-2x\right)+\left(2x^2-x+4\right)\) \(=x-2x^2+2x^2-x+4\) \(=\left(-2x^2+2x^2\right)+\left(x-x\right)+4=4\)

Vì \(f\left(x\right)=4\) với mọi \(x\)

nên \(f\left(x\right)>0\) với mọi \(x\)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) vô nghiệm.

b) Ta có: \(g\left(x\right)=x\left(x-5\right)-x\left(x+2\right)+7x=x^2-5x-x^2-2x\) \(=\left(x^2-x^2\right)-\left(5x+2x\right)=-7x\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(g\left(x\right)\), ta cho đa thức \(g\left(x\right)=0\).

\(\Leftrightarrow-7x=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy nghiệm của đa thức \(g\left(x\right)\) là \(0\).

c) Theo đề bài, ta có: \(h\left(x\right)=x\left(x-1\right)+1\) (Đa thức này đã được thu gọn)

Để tìm nghiệm của đa thức \(h\left(x\right)\), ta cho đa thức \(h\left(x\right)=0\).

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)+1=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=-1\)

\(\Rightarrow x\inƯ\left(-1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy đa thức \(h\left(x\right)\) vô nghiệm.

Đề đúng: Kết quả phép tính \(\dfrac{2^{12}\times3^5-4^6\times9^2}{\left(2^2\times3\right)^6+8^4\times3^5}-\dfrac{5^{10}\times7^3-25^5\times49^2}{\left(125\times7\right)^3+5^9\times14^3}\) là ...

Giải:

Ta có:

\(\dfrac{2^{12}\times3^5-4^6\times9^2}{\left(2^2\times3\right)^6+8^4\times3^5}-\dfrac{5^{10}\times7^3-25^5\times49^2}{\left(125\times7\right)^3+5^9\times14^3}\) \(=\dfrac{2^{12}\times3^5-\left(2^2\right)^6\times\left(3^2\right)^2}{\left(2^2\right)^6\times3^6+\left(2^3\right)^4\times3^5}-\dfrac{5^{10}\times7^3-\left(5^2\right)^5\times\left(7^2\right)^2}{\left(5^3\times7\right)^3+5^9\times\left(2\times7\right)^3}\) \(=\dfrac{2^{12}\times3^5-2^{12}\times3^4}{2^{12}\times3^6+2^{12}\times3^5}-\dfrac{5^{10}\times7^3-5^{10}\times7^4}{\left(5^3\right)^3\times7^3+5^9\times2^3\times7^3}\) \(=\dfrac{2^{12}\times3^4\times\left(3-1\right)}{2^{12}\times3^5\times\left(3+1\right)}-\dfrac{5^{10}\times7^3\times\left(1-7\right)}{5^9\times7^3+5^9\times2^3\times7^3}\) \(=\dfrac{2^{12}\times3^4\times2}{2^{12}\times3^5\times4}-\dfrac{5^{10}\times7^3\times\left(-6\right)}{5^9\times7^3\times\left(1+2^3\right)}\) \(=\dfrac{2^{13}\times3^4}{2^{12}\times3^5\times2^2}-\dfrac{5^{10}\times7^3\times\left(-6\right)}{5^9\times7^3\times\left(1+8\right)}\) \(=\dfrac{2^{13}\times3^4}{2^{14}\times3^5}-\dfrac{5^{10}\times7^3\times\left(-6\right)}{5^9\times7^3\times9}\) \(=\dfrac{1}{6}-\dfrac{-10}{3}\) \(=\dfrac{7}{2}\)

Vậy kết quả của phép tính đã cho là \(\dfrac{7}{2}\).

\(x^2-4x=0\)

\(\Rightarrow x\times\left(x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x=4\) thì thỏa mãn đề bài.

Theo đề bài, ta có:

\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]\div2=15\) \(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)=30\) \(\Rightarrow a+2b+c=30\)

\(\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\div2=10\) \(\Rightarrow\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=20\) \(\Rightarrow a+b+2c=20\)

\(\left[\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right]\div2=11\) \(\Rightarrow\left(a+c\right)+\left(a+b\right)=22\) \(\Rightarrow2a+b+c=22\)

Cộng vế với vế, ta có:

\(\left(a+2b+c\right)+\left(a+b+2c\right)+\left(2a+b+c\right)=30+20+22\) \(\Rightarrow4a+4b+4c=72\) \(\Rightarrow4\times\left(a+b+c\right)=72\) \(\Rightarrow a+b+c=18\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left(2a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)\\b=\left(a+2b+c\right)-\left(a+b+c\right)\\c=\left(a+b+2c\right)-\left(a+b+c\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=22-18\\b=30-18\\c=20-18\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=12\\c=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=4,b=12\) và \(c=2\).