Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau:(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge9\)

Thật vậy : áp dụng bđt cô si ta có :a+b+c\(\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

nhân vế theo vế ta được (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge9\)

Dấu "=" xảy ra khi:a=b=c

Áp dụng vào bài toán ta có:\(\dfrac{p}{p-a}+\dfrac{p}{p-b}+\dfrac{p}{p-c}=p\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\)

=\([\left(p-a\right)+\left(p-b\right)+\left(p-c\right)]\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge9\)

Dấu "=" xảy ra khi :p-a=p-b=p-c

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy với a,b,c là độ dai 3 cạnh của 1 tam giác và chu vi bằng 2p thì \(\dfrac{p}{p-a}+\dfrac{p}{p-b}+\dfrac{p}{p-c}\ge9\)

Ta có :\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

=\(\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{4}+b+\dfrac{1}{4}\right)\)

Áp dụng bđt cô si ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\),\(a+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a},b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)

do đó \(\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)}{2}\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Dấu "=" xảy ra khi:a=b=\(\dfrac{1}{4}\)

Vậy với a,b là các số thực dương ta có \(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Giả sử ƯCLN(a,c)=p(p\(\ge1\))

\(\Rightarrow a=p\times a1,c=p\times c1\)(a1,b1 là các số dương và (a1,c1)=1)

Từ đẳng thức ab=cd suy ra a1b=c1d do(a1,c1)=1 nên b\(⋮c1,d⋮a1\), ta có :

b=c1q và d=a1q(q\(\in Z^+\))

Từ đó suy ra : \(a^n+b^n+c^n+d^n=\left(a1^n+c1^n\right)\left(p^n+q^n\right)\)

do p\(\ge1,q\ge1\) nên p^n+q^n >=2 và a1,c1 là các số dương nên a^n+b^n+c^n+d^n là hợp số

bạn ở trên làm thiếu bước cuối rồi kìa

1/ x + 5 = 2

=> x = 2 - 5

=> x = -3

2/ 85431

Theo đề ta có : x > 0\(\Rightarrow x^2+4yz>4yz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+4yz}< \frac{1}{4yz}\) (1)

Chứng minh tương tự :\(\frac{1}{y^2+4xz}< \frac{1}{4xz}\) (2)

\(\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{4xy}\) (3)

Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế ,ta được :

\(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{4}\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\right)=\frac{1}{4}\times\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{xyz}\)

Vậy \(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{xyz}\)

á chết đoạn kia thiếu 1 phần 2 bạn tự thế vào tính nghen

Bạn tự vẽ hình nghen

Vì AD là phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=30\) độ

Ta có S_ABD=^{\(\frac{1}{2}\times AB\times AD\times\sin\widehat{BAD}\) (1)}

S_ADC=\(\frac{1}{2}\times AD\times AC\times\sin\widehat{DAC}\) (2)

S_ABC=\(\frac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin\widehat{BAC}\) ₍₃₎

từ (1),(2) và (3) , ta suy ra:\(\frac{1}{2}AD\times\left(AB+AC\right)\times\sin30=AB\times AC\times\sin60\)

\(\Rightarrow AD\times\frac{1}{2}\times12\sqrt{3}=96\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Rightarrow AD=8\)

Vậy AD=8(đvd)