Áp dụng bất đằng thức Cauchy Schwarz tao có:

\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Dể hệ pt trên có nghiệm duy nhất thì:

\(\frac{m-1}{1}\ne\frac{1}{-m-1}\Leftrightarrow m\ne0\)

PT tương đương với

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(m-1\right)x+y=m-1\\\left(m-1\right)x-\left(m^2-1\right)y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}X=\frac{m^2+1}{m^2}\\Y=\frac{1-m}{m^2}\end{matrix}\right.\)

\(X+Y=\frac{m^2-m+2}{m^2}=\frac{\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}{m^2}\ge\frac{7}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=1/2 (tmđk)

Vậy để hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa x+y đạt giá trị nhỏ nhất thì m=1/2

\(\Leftrightarrow4x^4+8x^3+5x^2+x-105=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+\frac{21}{4}\right)\left(4x^2+4x-21\right)=0\)

Do \(\left(x^2+x+\frac{21}{4}\right)>0\) nên pt đã cho tương đương với

\(\left(4x^2+4x-21\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2=21\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}X_1=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\\X_2=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho có nghiệm là....

Bài viết này ko đc kiểm tra lại kỹ càng do mình ko có nhiều thời gian nên sai xót là điều ko thể tránh khỏi. Mong bạn thông cảm....

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2xm-my=m^2+5m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\\left(m+1\right)x=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)( lấy pt dưới - pt trên nhà)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(m-1\right)\left(m+1\right)-my=3m-1\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m^2-1-my=3m-1\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\left(m-y\right)=3m\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=m-3\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

Vậy x=m+1 và y=m-3

Bài viết này ko đc kiểm tra lại kỹ càng do mình ko có nhiều thời gian nên nếu có sai xót là điều ko thể tránh khỏi mong bạn thông cảm....

làm gì có tam giác MAB bạn

Kẻ OH\(\perp\)CD

Ta thấy trong \(\Delta\)OMH vuông tại H \(\Rightarrow\)OM>OH ( cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông )

Áp Dụng: định lý . Trong hai dây của một đường tròn:

Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ta có OH>OM \(\Rightarrow\) AB<CD ( đpcm)

Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\) khi đó pt tương đương với

\(t^2+\left(\sqrt{2}+1\right)t-\left(\sqrt{2}+2\right)\)

\(\Delta=\left(\sqrt{2}+1\right)^2+4\left(\sqrt{2}+2\right)\)\(=11+6\sqrt{2}\)

Ta thấy denta lớn hơn 0 nên có 2 nghiệm phân biệt là

\(t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(\sqrt{2}+1\right)+\sqrt{11+6\sqrt{2}}}{2}=1\)

\(t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(\sqrt{2}+1\right)-\sqrt{11+6\sqrt{2}}}{2}=-2-\sqrt{2}\left(ktmđk\right)\)

Ta có: \(t_1=1\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x_1=1\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là 1 và -1