..+ _ + ..

we đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-5=x\\7-a=y\end{matrix}\right.\)(x,y>0) cho gọn

\(\rightarrow A=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^3y^3}}=\dfrac{3}{xy}\)(cauchy)

\(xy=\left(a-5\right)\left(7-a\right)\le\dfrac{\left(a-5+7-a\right)^2}{4}=1\)(cauchy)

do đó \(A\ge3\)

điều đó xảy ra khi a-5=7-a <=> a=6

P.s : cách khác :

\(P=\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}=\dfrac{1}{x^2+1+\dfrac{1}{x^2}}\)

Áp dụng BĐT cauchy \(x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\)

do đó \(P\le\dfrac{1}{3}\)

dấu = xảy ra: x=1hoặc x=-1

\(VT+3=\left(x+2y+3z+6\right)\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)\)

= \(24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)\)

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\ge\dfrac{9}{3+x+2y+3z}=\dfrac{9}{21}\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{24.9}{21}-3=\dfrac{51}{7}\)

dấu = xảy ra khi x=2y=3z=6 hay x=6,y=3,z=2

\(P=\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{2ab}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2-2ab+1}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{1}{2-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Áp dụng BĐt cauchy :

\(\dfrac{1}{2-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{2-2ab+2ab}=2\)

dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2ab=2-2ab\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\ab=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)......

cộng 3 vào rồi b-c-s

Bài 2:

ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)

Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:

\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

......

dấu = xảy ra khi a=b=c

Bài 2:

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:

\(a^2+1\ge2a\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)

thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

6 điểm không thẳng hàng tạo đk : 6 ( 6-1 ) :2 = 15
6 điểm thẳng hàng tạo được 1 đường thẳng
số đường thẳng bị giảm đi : 15 - 1 = 14
Giải sử trong 30 điểm đó k có 6 điểm nào thẳng hàng 
30(30-1) :2 = 435 
Vậy : 435 - 14 = 421 
 

cauchy từng cặp