Bạn phải ghi rõ đề chứ?

Do 2009 chia 2008 dư 1 nên \(2009^{2009}\) chia 2008 dư \(1^{2008}=1\).
Suy ra \(2009^{2009}-1\) chia hết cho 2008.

\(f\left(x_1+4x_2\right)=-3\left(x_1+4x_2\right)=-3x_1+4.\left(-3x_2\right)\)\(=f\left(x_1\right)+4f\left(x_2\right)\).

a) Gọi O mà giao điểm của AC và BD.
Giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD) là SO.
b) Theo định nghĩa đường trung bình của tam giác ta có OM, ON lần lượt là trung bình của tam giác ASC và SBD.
Suy ra OM // SC và ON // SD.
Vì vậy mp(OMN) // mp(SBC).
c) Có OM // SC nên SC // mp(DOM).
Có D, O, B thẳng hàng nên B là giao điểm của mp(DOM) và mp(SBC).
Trong mp(SBC) từ B kẻ đường thẳng d song song với SC thì d chính là giao tuyến của mp(DOM) và mp(SBC).
Kéo dài DM cắt d tại P. P chính là giao điểm của DM và (SBC).

Do tam giác ABC cân tại C nên \(sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{AB}\). Vì vậy \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\).
Do BD và CF lần lượt là các tia phân giác góc B và góc C nên D và F lần lượt là các điểm chính giữa của của cung AB và cung AC. Suy ra AF = AD.
Xét tam giác EFD và AFD có:
FD chung
\(\widehat{AFD}=\widehat{DFE}=\widehat{ADF}=\widehat{FDE}\)
nên \(\Delta EFD=\Delta AFD\left(c.g.c\right)\).
Suy ra \(AF=AD=EF=ED\) hay tứ giác ADEF là hình thoi.

Một số chính phương \(n^2\) có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 9, 6.
Do vậy \(n^2+2013\) sẽ có tận cùng là \(3,4,7,8,2,9\) nên không chia hết cho 5.

Dựng điểm B' sao cho C là trung điểm BB', suy ra \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB'}\).
\(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB'}\right)=\widehat{ACB'}\).
\(BC^2=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\).
\(cos\widehat{BCA}=\dfrac{3}{5}\).
\(cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}\right)=cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB'}\right)=cos\widehat{ACB'}=-\dfrac{3}{5}\).

\(cot\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=cot\widehat{ABC}=cot60^o=\sqrt{3}\).