HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\le y\le z\) khi đó: \(x-y\le0,y-z\le0,z-x\le0\). Ta có: \(\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|=-\left(x-y\right)-\left(y-z\right)+z-x\)\(=-x+y-y+z+z-x=2z-2x\). Vì vậy \(2z-2x=2017\Leftrightarrow2\left(z-x\right)=2017\). Nếu \(z,x\in Z\) thì \(2\left(z-x\right)⋮2\) nhưng 2017 không chia hết cho 2 nên không có x, y, z thỏa mãn. Vậy không tồn tại \(x,y,z\in Z\) để: \(\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|=2017\).
\(A=\left(-7\right)+\left(-7\right)^2+......+\left(-7\right)^{2006}+\left(-7\right)^{2007}\) \(=\left[\left(-7\right)+\left(-7\right)^2+\left(-7\right)^3\right]+\left[\left(-7\right)^4+\left(-7\right)^5+\left(-7\right)^6\right]+.......\) \(+\left[\left(-7\right)^{2005}+\left(-7\right)^{2006}+\left(-7\right)^{2007}\right]\) \(=\left(-7\right)\left[1+\left(-7\right)+\left(-7\right)^2\right]+......+\left(-7\right)^{2005}\left[1+\left(-7\right)+\left(-7\right)^2\right]\) \(=\left(-7\right).43+\left(-7\right)^3.43+......+\left(-7\right)^{2005}.43\) \(=43\left[\left(-7\right)+\left(-7\right)^3+.....+\left(-7\right)^{2005}\right]\). Suy ra A chia hết cho 43.
Đặt \(a=\sqrt{1-x^2},b=x\Rightarrow a^2+b^2=1-x^2+x^2=1\). Ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}=2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a^2b^2}=8\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1+2ab}{a^2b^2}=8\) Suy ra \(8a^2b^2-2ab-1=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ab=-\dfrac{1}{4}\\ab=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\). Với \(ab=-\dfrac{1}{4}\)ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ab=-\dfrac{1}{4}\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\) ..... Với \(ab=\dfrac{1}{2}\) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}ab=\dfrac{1}{2}\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\)
\(y_1=kx_1\Rightarrow y^2_1=k^2x_1^2\) \(y_2=kx_2\Rightarrow y^2_2=k^2x_2^2\) Ta có \(y^2_1+y^2_2=k^2x^2_1+k^2x^2_2=k^2\left(x^2_1+x^2_2\right)\)\(\Leftrightarrow36=4.k^2\) \(\Leftrightarrow k^2=9\) \(\Leftrightarrow k=\pm3\). Do k là một số âm nên k = -3.
Chọn 4 số trong \(a^1,a^2,a^3,....,a^7\) sao cho các số mũ là 4 số tự nhiên liên tiếp chẳng hạn: Nếu a lẻ chọn: \(a^1+a^2+a^3+a^4=a\left(1+a+a^2+a^3\right)=a\left(1+a\right)\left(a^2+1\right)\). Nếu a lẻ thì 1 + a và \(a^2+1\) là các số chẵn nên \(a\left(1+a\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 4. Nếu a chẵn chọn: \(a^4+a^5+a^6+a^7=a^4\left(1+a+a^2+a^3\right)\). Đặt \(a=2k\left(k\in N\right)\) thì \(a^4=\left(2k\right)^4=8k^4\) chia hết cho 4. Suy ra \(a^4+a^5+a^6+a^7=a^4\left(1+a+a^2+a^3\right)\) chia hết cho 4.
\(x^6-y^6=\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x^2+y^2+xy\right)=1\). Do \(x^2+y^2+xy\ge0,x^2+y^2-xy\ge0\) nên \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)\) cùng dấu. TH 1: \(x+y,x-y\) cùng dương \(x+y+x-y=2\Leftrightarrow x=1\). Thay \(x=1\) vào \(x^6-y^6=1\) ta có: \(1^6-y^6=1\Leftrightarrow y^6=0\) \(\Leftrightarrow y=0\). Th2: \(x+y,x-y\) cùng âm \(-\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=2\Leftrightarrow x=-1\). Thay \(x=-1\) vào \(x^6-y^6\) ta có \(\left(-1\right)^6-y^6=1\Leftrightarrow y=0\). Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm : \(\left(-1;0\right),\left(1;0\right)\).