Giả sử cả 2 BĐT trên đều đúng

Cộng theo vế ta được

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2< a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)< 4a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4ae+4e^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2< 0\) (vô lý)

Vậy điều giả sử sai

Nói cách khác, 1 trong 2 BĐT đã cho ở giả thiết là sai.

Vì x>2 áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương

\(y=x+\dfrac{2x+5}{x-2}=x+\dfrac{2x-4+9}{x-2}=x+2+\dfrac{9}{x-2}\)

\(=6+\left(x-2+\dfrac{9}{x-2}\right)\ge6+2\sqrt{x-2.\dfrac{9}{x-2}}=6+2\sqrt{9}=10\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x-2=\dfrac{9}{x-2}\Leftrightarrow x=5\)

Câu hỏi của nguyễn khắc biên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có \(\left(x-2y\right)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3=-8\)

\(\Rightarrow x-2y=-2\)

Do đó \(3x^2-12xy+12y^2=3\left(x^2-4xy+4y^2\right)=3\left(x-2y\right)^2\)

\(=3.\left(-2\right)^2=12\)

Vì a>b>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(\dfrac{a^2+b^2}{a-b}=\dfrac{a^2-2ab+b^2+2ab}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+2}{a-b}\)

\(=\left(a-b\right)+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\left(a-b\right).\dfrac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{2}{a-b}\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

Là điểm nằm giữa hai điểm còn lại và chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau

- đây là cách hiểu của tui -

phải là 432 mới đúng chứ sao lại là 1/432

Sửa đề: CMR: \(\dfrac{\left(x+y+z\right)^6}{xy^2z^3}\ge432\)

Ta có

\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^6}{xy^2z^3}\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\right)^6}{xy^2z^3}\)

\(\ge\dfrac{\left(6\sqrt[6]{x.\dfrac{y}{2}.\dfrac{y}{2}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}\right)^6}{xy^2z^3}=\dfrac{6^6.\dfrac{xy^2z^3}{2^2.3^3}}{xy^2z^3}=\dfrac{6^6}{2^2.3^3}=432\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\)