Ta có :\(m^3+n^3+p^3-4=m^3+n^3+p^3-\left(m+n+p\right)+2010=\left(m^3-m\right)+\left(n^3-n\right)+\left(p^3-p\right)+2010\)Dễ thấy \(2010⋮6\)
Ta cần chứng minh \(\left(m^3-m\right)+\left(n^3-n\right)+\left(p^3-p\right)\) chia hết ho 6
Ta có :\(m^3-m=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\)
Vì (m-1)m(m+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮2\\\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\)
mà (2;3)=1 nên (m-1)m(m+1) chia hết cho 6 hay \(\left(m^3-m\right)⋮6\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\left(n^3-n\right)⋮6;\left(p^3-p\right)⋮6\)
Do đó :\(\left(m^3-m\right)+\left(n^3-n\right)+\left(p^3-p\right)+2010⋮6\)
Vậy \(m^3+n^3+p^3-4\) chia hết cho 6 với m,n,p là các số nguyên thoả mãn \(m+n+p=2014\)
