Ta có : \(2xy+y=10x+17\)

\(\Leftrightarrow2xy+y-10x-17\Leftrightarrow y\left(2x+1\right)-10x+5=12\)

\(\Leftrightarrow y\left(2x+1\right)-5\left(2x+1\right)=12\Leftrightarrow\left(y-5\right)\left(2x+1\right)=12\)

Vì : \(y\in Z\Rightarrow y-5\in Z\)

\(x\in Z\Rightarrow2x+1\in Z\)

\(\Rightarrow y-5;2x+1\inƯ\left(12\right)\)

Mà : \(x\in Z\Rightarrow2x+1\) là số lẻ

Ta có bảng sau :

Vậy ...

Gọi số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số cần tìm là a ( a \(\in\) N* )

Theo đề ra , ta có :

a chia cho 11,13,17 đều dư 7

\(\Rightarrow a-7⋮11,13,17\Rightarrow a-7\in BC\left(11,13,17\right)\)

Vì : 11,13,17 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow BCNN\left(11,13,17\right)=2431\)

\(\Rightarrow BC\left(11,13,17\right)=\left\{2431;4862;7293;9724;...\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{2431;4862;7293;9724;...\right\}\)

\(\Rightarrow a-7\in\left\{2424;4855;7286;9717;...\right\}\)

Mà : a lớn nhất có 4 chữ số

\(\Rightarrow a-7=9717\Rightarrow a=9717+7=9724\)

Vậy số cần tìm là 9724

Gọi số cần tìm là a

Theo đề bài , ta có : \(\frac{11+a}{20+a}=\frac{5}{8}\)

\(\Rightarrow8\left(11+a\right)=5\left(20+a\right)\)

\(\Rightarrow88+8a=100+5a\)

\(\Rightarrow8a-5a=100-88\)

\(\Rightarrow3a=12\Rightarrow a=12\div3=4\)

Vậy số cần tìm là 4

Ta có : \(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{y-2}\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y-2\right)=2.3=6\)

- Vì : \(x\in Z\Rightarrow x+1\in Z\)

\(y\in Z\Rightarrow y-2\in Z\)

Phân tích 6 thành tích hai số nguyên ta có :

6 = 1.6 = (-1) (-6)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y-2\right)=1.6=\left(-1\right).\left(-6\right)\)

+) Nếu \(\left\{\begin{matrix}x+1=1\\y-2=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=1-1=0\\y=6+2=8\end{matrix}\right.\)

+) Nếu \(\left\{\begin{matrix}x+1=6\\y-2=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=6-1=5\\y=1+2=3\end{matrix}\right.\)

+) Nếu \(\left\{\begin{matrix}x+1=-6\\y-2=-1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=-6-1=-7\\y=-1+2=1\end{matrix}\right.\)

+) Nếu \(\left\{\begin{matrix}x+1=-1\\y-2=-6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=-1-1=-2\\y=-6+2=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

Quy đồng tử số hai phân số trên ta có :

\(\frac{-1}{7}=\frac{-1.3}{7.3}=\frac{-3}{21}\) ; \(\frac{-1}{8}=\frac{-1.3}{8.3}=\frac{-3}{24}\)

=> Các phân số lớn hơn -1/7 và nhỏ hơn -1/8 là :\(\frac{-3}{22};\frac{-3}{23}\)

Vậy tổng các phân số là \(\frac{-3}{22}+\frac{-3}{23}=\frac{-69}{506}+\frac{-66}{506}=\frac{-135}{506}\)

Ta có : \(\frac{-2}{x}=\frac{y}{3}\Rightarrow x.y=-2.3\Rightarrow x.y=-6\)

Phân tích -6 thành tích hai số nguyên ta có :

\(-6=-2.3=-3.2=-1.6=-6.1\)

Mà : \(x< 0< y\)

\(\Rightarrow x,y\in\left\{\pm2;\pm3;\pm1;\pm6\right\}\)

Vậy x = -2 ; y = 3

x = -3 ; y = 2

x = -1 ; y = 6

x = -6 ; y = 1

2, Vì : \(\frac{x-3}{y-2}=\frac{3}{2}\Rightarrow2\left(x-3\right)=3\left(y-2\right)\)

\(\Rightarrow2x-6=3y-6\Rightarrow2x=3y\)

\(\Rightarrow2x-2y=y\Rightarrow2\left(x-y\right)=y\)

Thay : x - y = 4 \(\Rightarrow2.4=y\Rightarrow y=8\)

\(\Rightarrow x-8=4\Rightarrow x=4+8=12\)

Vậy x = 12 ; y = 8

Để : \(\frac{n-2}{4}\) nguyên \(\Rightarrow n-2⋮4\Rightarrow n-2\) là bội của 4

\(\Rightarrow n-2=4k\Rightarrow n=4k+2\left(k\in Z\right)\)

Vậy n = 4k + 2 thì phân số có giá trị nguyên

a, \(\left|2x-1\right|=\left|-7\right|\Rightarrow\left|2x-1\right|=7\)

\(\Rightarrow2x-1\in\left\{-7;7\right\}\)

+) \(2x-1=7\Rightarrow2x=7+1\)

\(\Rightarrow2x=8\Rightarrow x=8\div2=4\)

+) \(2x-1=-7\Rightarrow2x=-7+1\)

\(\Rightarrow2x=-6\Rightarrow x=-6\div2=-3\)

Vậy \(x\in\left\{-3;4\right\}\)

b, \(\left|x+5\right|=0\Rightarrow x+5=0\)

\(\Rightarrow x=0-5\Rightarrow x=-5\)

Vậy x = -5

c, \(8x-75=5x+21\Rightarrow8x-5x=21+75\)

\(\Rightarrow\left(8-5\right)x=96\Rightarrow3x=96\)

\(\Rightarrow x=96\div3\Rightarrow x=32\)

Vậy x = 32

d, \(9x+25=-\left(2x-58\right)\Rightarrow9x+25=-2x+58\)

\(\Rightarrow9x+2x=58-25\Rightarrow\left(9+2\right)x=33\)

\(\Rightarrow11x=33\Rightarrow x=33\div11\Rightarrow x=3\)

Vậy x = 3

Đổi 240 phút = 4 giờ; 420 giờ = 7 giờ

Trung bình 1 giờ cả hai vòi chảy được:

              1:10 = \(\frac{1}{10}\)(bể)

4 giờ cả hai vòi chảy được:

              \(\frac{1}{10}x4=\frac{2}{5}\)(bể)

Sau 4 giờ cả hai vòi cùng chảy, vòi 2 còn phải chảy thêm số giờ là:

                 7-4 = 3 (giờ)

Trong 3 giờ, vòi 2 chảy đc số phần bể là:

             \(\left(1-\frac{7}{20}\right)-\frac{2}{5}=\frac{1}{4}\)(bể)

Trung bình một giờ vòi 2 chảy đc:

             \(\frac{1}{4}:3=\frac{1}{12}\)(bể)

Trung bình một giờ vòi 1 chảy đc:

             \(\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{1}{60}\)(bể)

Vòi 1 chảy đầy bể sau:

            1:\(\frac{1}{60}\)= 60 (giờ)

Vòi 2 chảy đầy bể sau:

            1:\(\frac{1}{12}\)= 12 (giờ)

\(A=\frac{5}{11.16}+\frac{5}{16.21}+\frac{5}{21.26}+...+\frac{5}{61.66}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{11}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{21}+...+\frac{1}{61}-\frac{1}{66}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{11}-\frac{1}{66}=\frac{6}{66}-\frac{1}{66}=\frac{5}{66}\)

Vậy \(A=\frac{5}{66}\)