Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược (Proof by Contradiction). Giả sử bất đẳng thức trên không đúng, tức là: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) + (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) > x + y + z Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: (5x^3 - y ^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) - y + (5z^3 - x^3 )/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Tiếp theo, ta nhận thấy rằng với mọi a, b > 0, ta luôn có: (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - a > 0 and (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - b > 0. Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức trên từng phần thức trong tổng, ta có: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x > 0 (5y ^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z ^3) - y > 0 (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Khi đặt a = x^3, b = y^3, c = z^3, ta có: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) - a^(1/3) > 0 (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) - b^(1/3) > 0 (5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) - c^(1/3) > 0 Nói cách khác, ta có các bất đẳng thức sau: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) > a^(1/3) (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) > b^(1/3) ( 5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) > c^( 1/3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3a^2 + ab + 5b ≥ 3∛(15a^2b) 3b^2 + bc + 5c ≥ 3∛(15b^2c) 3c^2 + ac + 5a ≥ 3∛(15c^2a) Khi đặt A = 3a^2 + ab + 5b, B = 3b^2 + bc + 5c, C = 3c^2 + ac + 5a, ta có: A > a ^ (1/3) B > b^(1/3) C > c^(1/3) Từ đó, ta có: (A + B + C) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Nhưng A, B, C lần lượt tương ứng với các số mẫu trong bất đẳng thức ban đầu, ta thu được: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) + (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) + (5c - a)/(3c^ 2 + ac + 5a) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Tuy nhiên, điều này trái với giả định ban đầu.

Để tìm giá trị của x sao cho biểu thức 2√(x) + √(x + 1) là một nguyên số, ta giả sử rằng biểu thức đó có giá trị nguyên là n (n thuộc N*). 2√(x) + √(x + 1) = n Ta nhân cả hai mắt của phương trình với √(x) để loại bỏ dấu căn: 2x + √(x)(x + 1)= n√(x) Phương trình trở thành: 2x - n√(x) + √(x)(x + 1) - √(x) = 0 Đặt √(x) = t Ta có phương trình tương đương: 2t^2 - nt + t (t + 1) - t = 0 2t^2 - nt + t^2 + t - t = 0 3t^2 - nt = 0 Từ đây, ta có các trường hợp sau: 1) t = 0 Khi đó, x = t^2 = 0. Tuy nhiên, nếu x = 0, thì biểu thức ban đầu trở thành 2√(0) + √(0 + 1) = 0 + 1 = 1, không thỏa mãn yêu cầu là số nguyên. Vì vậy, không tồn tại x pagition trong trường hợp này. 2) t ≠ 0 Ta có: 3t^2 - nt = 0 Suy ra: t(3t - n) = 0 a) t = 0 - đã xét trong trường hợp trước đó b) 3t - n = 0 => t = n/3 Do đó , x = t^2 = (n/3)^2 = n^2/9 Do đó, x = n^2/9 với n thuộc N* là giá trị của x để biểu thức 2√(x) + √( x + 1) is a integer.

Để tính giá trị của sin^4(a) + cos^4(a), ta sử dụng công thức mở rộng (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Áp dụng công thức này cho sin^2(a) và cos^2(a), ta có: sin^4(a) + cos^4(a) = (sin^2(a) + cos^2( a))^2 - 2sin^2(a)cos^2(a) Vì theo công thức lượng giác cơ bản, sin^2(a) + cos^2(a) = 1, từ đó ta có: sin^ 4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) Tuy nhiên, trong bài toán này, ta biết cos(4a) = 1/4. Sử dụng công thức lượng giác: cos(4a) = cos^2(2a) - sin^2(2a) = 1/4 Ta biến đổi biểu thức này để tìm giá trị của sin^2(2a)cos^2( 2a): cos^2(2a) - sin^2(2a) = 1/4 cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a)) = 1/4 2cos^2(2a) - 1 = 1/4 cos^2(2a) = 5/8 Thay giá trị này vào biểu thức trước đó: sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) = 1 - 2sin ^2(a)(5/8) = 1 - 5/4sin^2 (a) Tiếp theo, để tính giá trị của sin^6(a) + cos^6(a), ta nhận thấy rằng (sin^2(a))^3 + (cos^2(a))^3 tương đương với công thức mở rộng (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Thay a = sin^2(a) và b = cos^2(a), ta có: (sin^2(a))^3 + (cos^2(a))^3 = (sin^2(a) ) + cos^2(a))(sin^4(a) - sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a)) = (sin^2(a) + cos^2 ( a))(1 - 5/4sin^2(a)) Vì sin^2(a) + cos^2(a) = 1 nên ta có: (sin^2(a))^3 + (cos^2 (a))^3 = 1 - 5/4sin^2(a) Do đó, giá trị của sin^6(a) + cos^6(a) là 1 - 5/4sin^2(a). Tóm lại, giá trị của sin^4(a) + cos^4(a) là 1 - 5/4sin^2(a) và giá trị của sin^6(a) + cos^6(a) là 1 - 5/4sin^2(a).

Để chứng minh các định lượng đẳng cấp, ta sẽ sử dụng các công thức định lượng giác cơ bản và các quy tắc biến đổi đẳng thức. a) Bắt đầu với phương trình ban đầu: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan( π/2 - x) Ta biết rằng: cos^2(π/2 - x) = sin^2(x) (công thức lượng giác) sin^2(π/2 - x) = cos^2(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình ban đầu, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/ 2 - x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số lượng giác: cot(π/2 - x) = cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x) = sin(x) / cos(x) = tan(x) (công thức lượng giác) tan(π/2 - x) = sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x) = cos(x) / sin(x) = 1 / tan(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -tan(x) * (1/tan(x)) = -1 Vì vậy, ta đã chứng minh là đúng. b) Bắt đầu với phương thức ban đầu: (1/cos^2(x) + 1) * tan(x) = tan^2(x) Tiếp tục chuyển đổi phép tính: 1/cos^2(x) + 1 = tan^2(x) / tan(x) = tan(x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số giá trị lượng giác: 1/cos^2(x) = sec^2(x) (công thức) lượng giác) sec^2(x) + 1 = tan^2(x) + 1 = sin^2(x)/cos^2(x) + 1 = (sin^2(x) + cos^2(x) ))/cos^2(x) = 1/cos^2(x) Thay thế vào phương trình ban đầu, ta có: 1/cos^2(x) + 1 = 1/cos^2(x) Do đó, ta đã chứng minh được b)đúng.

Để tính toán có thể phân tích khối A'.BCC'B', ta có thể sử dụng công thức: V = (1/3) * S * h, trong đó V là có thể phân tích, S là đáy phân tích và h là chiều high of the block.

Trước tiên, ta cần tính diện tích đáy S. Với diện tích tam giác đều A'ABC, diện tích đáy là diện tích tam giác ABC. Ta có công thức tính diện tích tam giác đều là S = (a^2 * √3) / 4.

Giờ ta cần tính chiều cao h. Theo đề bài, cosα = 1/√3. Chúng ta biết rằng cosα = h/AB = h/a. Từ đó suy ra h = a/√3.

Tiếp theo, ta thay vào công thức thể tích V = (1/3) * S * h:
V = (1/3) * ((a^2 * √3)/4) * (a / √3)
= (a^3 * √3) / (12√3)
= a^3 / 12

Do đó, có thể phân bổ khối A'.BCC'B' là a^3/12.

Để phân tích đa thức 3x^2y - 6xy + 2x - 2 thành nhân tử, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhóm các thuật ngữ chung nhau. 3x^2y - 6xy + 2x - 2 = (3x^2y - 6xy) + (2x - 2) Bước 2: Phân tách từng nhóm thuật ngữ. 3x^2y - 6xy = 3xy(x - 2) 2x - 2 = 2(x - 1) Bước 3: Kết hợp các nhân tử đã phân tích. 3x^2y - 6xy + 2x - 2 = 3xy(x - 2) + 2(x - 1) Do đó, đa thức đã được phân tích thành nhân tử là 3xy(x - 2) + 2(x - 1).

Để chứng minh F là trọng tâm của tam giác AMN, ta cần chứng minh ba đường phân giác AM, AN và FM đồng quy tại một điểm. Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chứng minh AM cắt FN tại điểm P.

Vì CM là đường phân giác của tam giác ABC nên từ hai tỉ lệ bằng nhau CD/DB = CE/EA ta có: AD
/ DB = AE/EC
Do đó, tam giác ADE và CDB đồng dạng theo tỷ lệ AD/DB = AE/EC.

Từ đó suy ra:
AM/MB = (AD + DM)/DB = (AE + EM)/(EC + CB) = AE/EC = AC/CE = AC/(AC/6) = 6 Tương tự,

ta có:
AN/NC = AD/DB = 2
FM/MB = FB + BM/MB = FB/(BC/3) + FM/(FM-MB) = 3

Vậy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ lệ 6:2:3.

Bước 2: Chứng minh FM cắt AN tại một điểm Q.

Vì FM = 2FB nên từ tam giác FBM ta có FB = FM/2 = FM/2FB, do đó tam giác FNB đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ lệ 1:2.

Vậy AM, FN và EQ đồng qui tại một điểm P.

Bước 3: Chứng minh đường phân giác FM cắt AN tại điểm P.

CM = FM và CN = FN, từ đó tam giác CMN và FMN đồng dạng theo tỉ lệ 1: 1.

Để tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình 4x^2 - 12xy + 2y^2 + 12x - 6y + 8 = 0 sao cho y nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của y trong phương trình này.

Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thiện định thức. Trước tiên, ta nhân hai vế của phương trình với 2 để thu được phương trình tương đương:

8x^2 - 24xy + 4y^2 + 24x - 12y + 16 = 0

Tiếp theo, ta nhóm các thành phần chứa x^2, xy và y^2 lại với nhau:

(8x^2 - 24xy + 4y^2) + (24x - 12y) + 16 = 0

(2x - y)^2 + 2(6x - 3y) + 16 = 0

Bây giờ, ta để ý rằng (2x - y)^2 là một số không âm vì là bình phương của một số. Do đó, để giá trị của phương trình là nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 2(6x - 3y). Điều này xảy ra khi 6x - 3y = 0, tức là 2x - y = 0.

Giải hệ phương trình này, ta có:

2x - y = 0 6x - 3y = 0

Từ phương trình thứ nhất, ta có y = 2x. Thay vào phương trình thứ hai, ta có:

6x - 3(2x) = 0 6x - 6x = 0 0 = 0

Phương trình này đúng với mọi giá trị của x và y. Do đó, không có giá trị cụ thể cho (x, y) thỏa mãn y nhỏ nhất trong phương trình ban đầu.

Để tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số đã chọn, ta có thể sử dụng cách sau: 1. Sử dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN: - ƯCLN(A.ưc(12,18)) = 6 - ƯCLN (B.ưc(18,54)) = 18 - ƯCLN(C.ưc(40,144)) = 8 - ƯCLN(D.ưc(35,130)) = 5 - ƯCLN(E.ưc(63,84)) = 21 - ƯCLN(F.ưc(18,54)) = 18 - ƯCLN(G.ưc(147,168,189)) = 21 - ƯCLN(H.ưc(18,30,77)) = 1 - ƯCLN(I.ưc(48) ,72,90)) = 6 2. Kết quả: - ƯCLN(A.ưc(12,18)) = 6 - ƯCLN(B.ưc(18,54)) = 18 - ƯCLN(C.ưc(40,144) ) = 8 - ƯCLN(D.ưc(35,130)) = 5 - ƯCLN(E.ưc(63,84)) = 21 - ƯCLN(F.ưc(18,54)) = 18 - ƯCLN(G.ưc( 147.168.189)) = 21 - ƯCLN(H.ưc(18,30,77)) = 1 - ƯCLN(I.ưc(48,72,90)) = 6

Để tìm tổng hợp dựa trên Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số đã chọn, ta có thể sử dụng cách sau: 1. Phân tích các số đã cho thành các nguyên tố thừa: - bc(3,9) = 3 * 3 * 3 = 3^3 - bc(12,14) = 2 * 2 * 3 * 7 = 2^2 * 3 * 7 - bc(20,30) = 2 * 2 * 5 * 3 * 5 = 2^2 * 3 * 5^2 - bc(17,2) = 17 * 2 = 2 * 17 - bc(5,10) = 5 * 2 * 5 = 2 * 5^2 - bc(8,9) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 2^3 * 3^2 - bc(12,15,20) = 2 * 2 * 3 * 5 * 2 * 3 = 2^2 * 3^2 * 5 - bc(5,20,30) = 5 * 2 * 2 * 5 * 2 * 3 = 2^2 * 3 * 5^2 - bc(6,10,20) = 2 * 3 * 2 * 5 * 2 = 2^3 * 3 * 5 2. Tính BCNN bằng cách lấy các nguyên tố thừa với số phụ lớn nhất: BCNN = 2^3 * 3^2 * 5^2 * 7 * 17 = 8 * 9 * 25 * 7 * 17 = 30600

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số đã cho là 30600.