Ta có: 

`31^31<32^31`

`=(2^5)^31`

`=2^(5*31)`

`=2^155<2^156`

`=(2^4)^39`

`=16^39<17^39`

Vậy: `31^31<17^39`

2. 

a) Gọi d là ƯCLN của `n+2` và `n+3` ta có:

`n+2 \vdots d` và `n+3 \vdots d`

`=>(n+3)-(n+2) \vdots d`

`=>1 \vdots d`

`=> d=1`

Vậy `n+2` và `n+3` là 2 SNT cùng nhau 

b) Gọi d là ƯCLN của `2n+3` và `3n+5` ta có:

`2n + 3 \vdots d` và `3n+5 \vdots d`

`=>3(2n+3) \vdots d` và `2(3n+5) \vdots d`

`=>6n+9 \vdots d` và `6n+10 \vdots d`

`=>(6n+10)-(6n+9) \vdots d`

`=>1 \vdots d`

`=>d=1`

Vậy `2n+3` và `3n+5` là 2 STN cùng nhau 

`a)x^2-6x=0`

`<=>x(x-6)=0`

`<=>x=0` hoặc `x-6=0`

`<=>x=0` hoặc `x=6`

`b)3x^2-2x=1`

`<=>3x^2-2x-1=0`

`<=>(3x^2-3x)+(x-1)=0`

`<=>3x(x-1)+(x+1)=0`

`<=>(3x+1)(x-1)=0`

`<=>3x+1=0` hoặc `x-1=0`

`<=>x=-1/3` hoặc `x=1`

`c) x^3+x=2x^2`

`<=>x^3-2x^2+x=0`

`<=>(x^3-x^2)+(-x^2+x)=0`

`<=>x^2(x-1)-x(x-1)=0`

`<=>(x-1)(x^2-x)=0`

`<=>x(x-1)^2=0`

`<=>x=0` hoặc `(x-1)^2=0`

`<=>x=0` hoặc `x-1=0`

`<=>x=0` hoặc `x=1` 

a) `A=(2x-1)-(4x^2+2x+1)-7(x^2+1)`

`=2x-1-4x^2-2x-1-7x^2-7`

`=(-4x^2-7x^2)+(2x-2x)+(-1-1-7)`

`=-11x^2-9`

b) Thay `x=1/2` vào A ta có:

`A=-11*(1/2)^2-9`

`=-11/4-9=-47/4`

Ta có:

`x^2+5y^2-3xy-3x-y+5=0`

`<=>2x^2+10y^2-6xy-6x-2y+10=0`

`<=>(x^2-6xy+9y^2)+(x^2-6x+9)+(y^2-2x+1)=0`

`<=>(x-3y)^2+(x-3)^2+(y-1)^2=0`

`<=>x-3y=0` và `x-3=0` và `y-1=0`

`<=>x=3y` và `x=3` và `y=1`

`<=>x=3` và `y=1`

`=>P=((3+1-4)^2024-1^2024)/3=(0^2024-1^2024)/3=-1/3`

Bài 54: 

Ta có:

\(A=2,593\times259,9\\ =2,593\times\left(10\times25,99\right)\\ =\left(2,593\times10\right)\times25,99\\ =25,93\times25,99\\ =\left(25,96-0,03\right)\times\left(25,96+0,03\right)\\ =25,96\times25,96+0,03\times25,96-0,03\times25,96-0,03\times0,03\\ =25,96\times25,96-0,03\times0,03< 25,96\times25,96=B\)

Các dạng bài đó thì có nhiều phương pháp chứng minh lắm em nhé ! 

+) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng thì ta sử dụng một số pp liên quan đến góc nhưng chứng minh tổng hai góc là 180 độ thì 3 điểm đó thẳng hàng (VD: góc ABC + góc CBD = 180 độ thì A, B, D thẳng hàng), hay là chứng minh ba điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng nào đó (VD: đường trung trực, phân giác, ...), sử dụng tính chất song song (VD: AC//a và AB//a thì => A, B, C thẳng hàng), sử dụng các đường thẳng đồng quy trong tam giác như 3 đường cao, 3 đường trung trực, ... (VD: chứng minh H là trọng tâm, M là trung tuyến từ đỉnh A => H, A, M thẳng hàng), sử dụng một số định lý, đường thẳng liên quan nữa như Menelaus, simson, steiner, ... 

+) Chứng minh trung điểm thì đơn giản hơn nhiều, chứng minh hai cạnh bằng nhau (VD: AB = AC => A là trung điểm của BC), hay là dựa vào một số tính chất trọng tâm, đường trung hay sử dụng tỉ lệ, ... 

+) Chứng hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể chứng minh góc đó bằng 90 độ, hay là tính chất a vuông với b, a song song với c thì b vuông với c, sử dụng pythagore đảo để chứng minh tam giác vuông xong quy về vuông góc, các tính chất đường trung trực hay là đường cao. Có thể sử dụng tính chất của các hình thoi, vuông, hình chữ nhật để chứng minh vuông góc,... 

Đây chỉ là một số cách rất cơ bản để chứng minh. Em có thể tìm kiếm thêm các tài liệu để đọc nhé !

`A=(-3/4+2/5):3/7+(3/5+(-1)/4):3/7`

`=(-3/4+2/5)*7/3)+(3/5-1/4)*7/3`

`=7/3*(-3/4+2/5+3/5-1/4)`

`=7/3*[(-3/4-1/4)+(2/5+3/5)]`

`=7/3*(-1+1)`

`=7/3*0`

`=0`

3/

`a)32+x=11`

`x=11-32`

`x=-21`

`b)131-3(x+4)=23`

`3(x+4)=131-23`

`3(x+4)=108`

`x+4=108/3=36`

`x=36-4=32`

`c)36:(x-7)=3^2` (x khác 7) 

`36:(x-7)=9`

`x-7=36:9`

`x-7=4`

`x=4+7=11`

`A=5+5^2+5^3+...+5^96`

`5A=5^2+5^3+5^4+..+5^97`

`5A-A=(5^2+5^3+5^4+...+5^97)-(5+5^2+5^3+..+5^96)`

`4A=5^97-5`

Vì `5^97` chia hết cho 5 => có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0 

Mà `5^97=5*5*...*5` là số lẻ `=>` có chữ số tận cùng là 5

`=>5^97-5` có chữ số tận cùng là 0 

`=>4A` có chữ số tận cùng là 0

`=>A` có chữ số tận cùng là 0