Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải

a) Xét \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\)

Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

Tập xác định: \(D = [0; + \infty )\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1\)

Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Từ đồ thị ta thấy:

Khi \(x \to  + \infty \)thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = \frac{{x + 1}}{x} = 1\)

Khi \(x \to  - \infty \)thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  = \frac{{x + 1}}{x} = 1\)

b) MN = y – 1 = \(\frac{{x + 1}}{x} - 1 = \frac{1}{x}\)

Khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \) thì MN tiến dần về 0

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{2}\) và y = 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét \(y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} =  - \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} =  - \frac{1}{2}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{4}\) và y = \( - \frac{1}{2}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{3}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{7}{3}\) và y = \(\frac{5}{3}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x

b) MN = y – x = \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x = \frac{1}{x}\)

Khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \) thì MN tiến dần về 0

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} =  + \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\)

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2} \right\}\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =  + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =  - \infty \).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)

Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng, \(y = \frac{1}{2}x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

b) Xét \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 7x - 6}}{{x + 2}} = \frac{{ - 7 - \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} =  - 7\)

Vậy đường thẳng x = -2 và y = \(2x - 7\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  - \infty \).

\(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}}\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{5}{2}\), tiệm cận xiên là \(y = x + 2.\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } y(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } (5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{45{t^2} - 15t + 5}}{{9{t^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{45 - \frac{{15}}{t} + \frac{5}{{{t^2}}}}}{{9 + \frac{1}{{{t^2}}}}} = 5\)\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } y(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } (5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } \frac{{45{t^2} - 15t + 5}}{{9{t^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } \frac{{45 - \frac{{15}}{t} + \frac{5}{{{t^2}}}}}{{9 + \frac{1}{{{t^2}}}}} = 5\)

Vậy đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Nhận xét: Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ tiến dần về 5mg/l

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Xét \(m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{N}\backslash \{ c\} \)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} =  - \infty \)

Vậy đường thẳng x = c  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng x = 1 và x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{5{x^2} - 15x + 10}}\)

Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{5{x^2} - 15x + 10}}\)

b) Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{x}\)

Đường thẳng y = \(x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{x}\)

c) Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{16{x^2} - 8x}}{{16{x^2} + 1}}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\)

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 13x}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 13}}{{1 + \frac{5}{x}}} =  - 13\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (ax + b)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (2x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - (2x - 13) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{65}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{65}}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)