Cho đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\) và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).
a) Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x}-x\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x}-x\right)\).
b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
b) MN = y – x = \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x = \frac{1}{x}\)
Khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \) thì MN tiến dần về 0