Cho a = log 2 m và A = log m 8 m , với 0 < m ≠ 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. A = (3-a)a
B. A = ( 3+a)a
C. A = 3 - a a
D. A = 3 + a a
Hoạt động 3
Cho \(m = {2^7};\,n = {2^3}\)
a) Tính \({\log _2}\left( {mn} \right);{\log _2}m + {\log _2}n\) và so sánh các kết quả đó
b) Tính \({\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right);{\log _2}m - {\log _2}n\) và so sánh các kết quả đó
a: \(log_2\left(mn\right)=log_2\left(2^7\cdot2^3\right)=7+3=10\)
\(log_2m+log_2n=log_22^7+log_22^3=7+3=10\)
=>\(log_2\left(mn\right)=log_2m+log_2n\)
b: \(log_2\left(\dfrac{m}{n}\right)=log_2\left(\dfrac{2^7}{2^3}\right)=7-3=4\)
\(log_2m-log_2n=log_22^7-log_22^3=7-3=4\)
=>\(log_2\left(\dfrac{m}{n}\right)=log_2m-log_2n\)
a) \(\log_2\left(mn\right)=\log_2\left(2^7.2^3\right)=\log_22^{7+3}=\log_22^{10}=10.\log_22=10.1=10\)
\(\log_2m+\log_2n=\log_22^7+\log_22^3=7\log_22+3\log_22=7.1+3.1=7+3=10\)
b) \(\log_2\left(\dfrac{m}{n}\right)=\log_2\dfrac{2^7}{2^3}=\log_22^4=4.\log_22=4.1=4\)
\(\log_2m-\log_2n=\log_22^7-\log_22^3=7.\log_22-3\log_22=7.1-3.1=4\)
Cho M = 25, N = 23. Tính và so sánh:
a) \({\log _2}\left( {MN} \right)\) và \({\log _2}M + {\log _2}N;\)
b) \({\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right)\) và \({\log _2}M - {\log _2}N.\)
a: \(log_2\left(M\cdot N\right)=log_2\left(2^5\cdot2^3\right)=log_2\left(2^8\right)=8\)
\(log_2M+log_2N=log_22^5+log_22^3=5+3=8\)
=>\(log_2\left(MN\right)=log_2M+log_2N\)
b: \(log_2\left(\dfrac{M}{N}\right)=log_2\left(\dfrac{2^5}{2^3}\right)=log_2\left(2^2\right)=2\)
\(log_2M-log_2N=log_22^5-log_22^3=5-3=2\)
=>\(log_2\left(\dfrac{M}{N}\right)=log_2M-log_2N\)
Đặt m = log 2 và n = log 7. Hãy biểu diễn log 6125 7 theo m và n.
Đáp án D.
Ta có
log 6125 7 = log 6125 + log 7 = log 7 2 . 125 + 1 2 log 7
= 5 2 log 7 + log 5 3 = 5 2 n + 3 log 5 = 5 2 n + 3 1 - log 2
= 5 2 n + 3 - 3 m .
Giả sử đã cho \({\log _a}M\) và ta muốn tính \({\log _b}M.\) Để tìm mối liên hệ giữa \({\log _a}M\) và \({\log _b}M,\) hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a) Đặt \(y = {\log _a}M,\) tính M theo y;
b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.
a) \(y = {\log _a}M \Leftrightarrow M = {a^y}\)
b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của \(M = {a^y}\) ta được
\({\log _b}M = {\log _b}{a^y} \Leftrightarrow {\log _b}M = y{\log _b}a \Leftrightarrow y = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\)
1) Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thoả mãn ab khác 1. Rút gọn biểu thức sau: P=(logab + logba + 2)(logab - logabb).logba - 1
Đặt \(\log 2 = a,\log 3 = b\). Biểu thị các biểu thức sau theo \(a\) và \(b\).
a) \({\log _4}9\);
b) \({\log _6}12\);
c) \({\log _5}6\).
a: \(log_49=\dfrac{log9}{log4}=\dfrac{log3^2}{log2^2}=\dfrac{2\cdot log3}{2\cdot log2}=\dfrac{log3}{log2}=\dfrac{b}{a}\)
b: \(log_612=\dfrac{log12}{log6}=\dfrac{log2^2+log3}{log2+log3}=\dfrac{2\cdot log2+log3}{log2+log3}\)
\(=\dfrac{2a+b}{a+b}\)
c: \(log_56=\dfrac{log6}{log5}=\dfrac{log\left(2\cdot3\right)}{log\left(\dfrac{10}{2}\right)}=\dfrac{log2+log3}{log10-log2}\)
\(=\dfrac{a+b}{1-a}\)
1. cho a=log3 2 và b=log3 5. tính các logarit sau theo a, b; A=log3 80, B=log3 37,5
2. cho log10 3=a, log5=b. tính C=log30 8 theo a, b
3. cho log27 5=a, log8 7=b, log2 3=c. tính D log6 35 theo a, b, c
Bài 1:
\(A=\log_380=\log_3(2^4.5)=\log_3(2^4)+\log_3(5)\)
\(=4\log_32+\log_35=4a+b\)
\(B=\log_3(37,5)=\log_3(2^{-1}.75)=\log_3(2^{-1}.3.5^2)\)
\(=\log_3(2^{-1})+\log_33+\log_3(5^2)=-\log_32+1+2\log_35\)
\(=-a+1+2b\)
Bài 2:
\(\log_{30}8=\frac{\log 8}{\log 30}=\frac{\log (2^3)}{\log (10.3)}=\frac{3\log2}{\log 10+\log 3}\)
\(=\frac{3\log (\frac{10}{5})}{1+\log 3}=\frac{3(\log 10-\log 5)}{1+\log 3}=\frac{3(1-b)}{1+a}\)
Bài 3:
\(\log_{27}5=a; \log_87=b; \log_23=c\)
\(\Leftrightarrow \frac{\ln 5}{\ln 27}=a; \frac{\ln 7}{\ln 8}=b; \frac{\ln 3}{\ln 2}=c\)
\(\Leftrightarrow \frac{\ln 5}{\ln (3^3)}=a; \frac{\ln 7}{\ln (2^3)}=b; \ln 3=c\ln 2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\ln 5}{3\ln 3}=a; \frac{\ln 7}{3\ln 2}=b; \ln 3=c\ln 2\)
\(\Rightarrow \frac{\ln 5}{3c\ln 2}=a; \frac{\ln 7}{3\ln 2}=b\)
\(\Rightarrow \ln 35=\ln 5+\ln 7=3ac\ln 2+3b\ln 2\)
Do đó:
\(D=\log_6 35=\frac{\ln 35}{\ln 6}=\frac{\ln 35}{\ln 2+\ln 3}=\frac{\ln 35}{\ln 2+c\ln 2}=\frac{3ac\ln 2+3b\ln 2}{\ln 2+c\ln 2}\)
\(=\frac{3ac+3b}{1+c}\)
Cho log 2 = a , log 3 = b . Biểu diễn log 625 270 theo a và b là:
A. 1 4 3 b + 1 1 - a
B. a + 2 b 2 3 a 1 - b
C. a + b 2 4 a 1 - b
D. a + b 2 2 a 1 - b
Cho a,bc>1.Biết rằng biểu thức P= loga(bc) +logb(ac)+4logc(ab) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi logbc=n. Tính giá trị m+n
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \log_ab=x\\ \log_bc=y\\ \log_ca=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log_ba=\frac{1}{x}\\ \log_cb=\frac{1}{y}\\ \log_ac=\frac{1}{z}\end{matrix}\right. \). và \(xyz=1\)
Do \(a,b,c>1\Rightarrow x,y,z>0\)
Ta có:
\(P=\log_a(bc)+\log_b(ac)+4\log_c(ab)\)
\(=\log_ab+\log_ac+\log_ba+\log_bc+4\log_ca+4\log_cb\)
\(=x+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+y+4z+\frac{4}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{1}=2\\ y+\frac{4}{y}\geq 2\sqrt{4}=4\\ \frac{1}{z}+4z\geq 2\sqrt{4}=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\geq 2+4+4=10\)
\(\Rightarrow m=10\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\rightarrow x=1\\ y=\frac{4}{y}\rightarrow y=2\\ \frac{1}{z}=4z\rightarrow z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
Suy ra \(n=\log_bc=y=2\)
\(\Rightarrow m+n=12\)
Đặt \({\log _3}2 = a,{\log _3}7 = b\). Biểu thị \({\log _{12}}21\) theo \(a\) và \(b\).
\(log_{12}21=\dfrac{log_321}{log_312}=\dfrac{log_3\left(7\cdot3\right)}{log_3\left(2^2\cdot3\right)}=\dfrac{log_37+log_33}{log_34+log_33}\)
\(=\dfrac{log_37+1}{log_32^2+1}=\dfrac{log_37+1}{2\cdot log_32+1}=\dfrac{b+1}{2a+1}\)