Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phương Huỳnh

Cho a,bc>1.Biết rằng biểu thức P= loga(bc) +logb(ac)+4logc(ab) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi logbc=n. Tính giá trị m+n

Akai Haruma
19 tháng 3 2018 lúc 20:59

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \log_ab=x\\ \log_bc=y\\ \log_ca=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log_ba=\frac{1}{x}\\ \log_cb=\frac{1}{y}\\ \log_ac=\frac{1}{z}\end{matrix}\right. \). và \(xyz=1\)

Do \(a,b,c>1\Rightarrow x,y,z>0\)

Ta có:

\(P=\log_a(bc)+\log_b(ac)+4\log_c(ab)\)

\(=\log_ab+\log_ac+\log_ba+\log_bc+4\log_ca+4\log_cb\)

\(=x+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+y+4z+\frac{4}{y}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{1}=2\\ y+\frac{4}{y}\geq 2\sqrt{4}=4\\ \frac{1}{z}+4z\geq 2\sqrt{4}=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\geq 2+4+4=10\)

\(\Rightarrow m=10\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\rightarrow x=1\\ y=\frac{4}{y}\rightarrow y=2\\ \frac{1}{z}=4z\rightarrow z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Suy ra \(n=\log_bc=y=2\)

\(\Rightarrow m+n=12\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Bích Du
Xem chi tiết
Thành Công
Xem chi tiết
trần nam
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết
Ngọc Thư
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Thị Thanh Thảo Tô
Xem chi tiết
Sang Kim
Xem chi tiết