76444423468888879635223457656454444444444444444 : 9 = 8493824829876542181691495295161604938271604938 dư 2

Có.

Chiến thuật nổi tiếng là “đi theo chu trình hoán vị”, và xác suất sống không chỉ lớn hơn 0 mà còn khá cao, khoảng 31%.

Cách làm như sau:

Giả sử tù nhân số k vào phòng.

Bước 1:
Người đó mở hộp mang nhãn k.

Bước 2:
Nếu trong hộp là số k thì người đó đã thắng.
Nếu không, giả sử trong hộp là số m, thì tiếp theo người đó mở hộp mang nhãn m.

Bước 3:
Tiếp tục như vậy:
mỗi lần đọc được số nào thì mở hộp có nhãn đúng bằng số đó.

Người tù nhân dừng lại khi:

Vì sao cách này hiệu quả?

Cách sắp xếp 100 tờ số trong 100 hộp tạo thành một hoán vị của các số 1 đến 100.
Mỗi hoán vị có thể tách thành các chu trình.

Khi tù nhân k làm theo cách trên, thực chất họ đang đi dọc theo chu trình chứa số k.
Họ sẽ tìm được số của mình nếu và chỉ nếu độ dài chu trình đó không vượt quá 50.

Vậy tất cả 100 tù nhân cùng sống khi nào?
Khi và chỉ khi mọi chu trình của hoán vị đều có độ dài không quá 50.

Do đó:
xác suất sống = xác suất một hoán vị ngẫu nhiên của 100 phần tử không có chu trình nào dài hơn 50.

Kết quả:
xác suất này xấp xỉ 0,3118, tức khoảng 31,18%.

Điều này lớn hơn rất nhiều so với cách chọn ngẫu nhiên 50 hộp:
nếu mỗi người chọn bừa thì xác suất mỗi người đúng là 1/2,
nên xác suất cả 100 người cùng đúng là
(1/2)^100
rất nhỏ, gần như bằng 0.

Kết luận:
Có chiến thuật giúp xác suất sống > 0.
Thậm chí chiến thuật tốt nhất rất nổi tiếng cho bài này cho xác suất sống khoảng 31%.

901344566 ÷ 42678 = 21118 dư 362

Vì:
42678 × 21118 = 901344204

Nên:
901344566 - 901344204 = 362

Đáp số:
21118 dư 362

Bài 4. Vì sao trong trồng trọt cần phải bón phân đúng liều lượng, đúng loại và có cách bón thích hợp?

Trong trồng trọt cần phải bón phân đúng liều lượng, đúng loại và có cách bón thích hợp vì:

Bài 3. Lập bảng so sánh sự khác nhau giữa quá trình tổng hợp và phân giải chất hữu cơ ở sinh vật

Tiêu chí
Quá trình tổng hợp chất hữu cơ
Quá trình phân giải chất hữu cơ

Khái niệm
Là quá trình tạo ra các chất hữu cơ phức tạp từ các chất đơn giản
Là quá trình phân giải các chất hữu cơ phức tạp thành các chất đơn giản hơn

Bản chất
Đồng hóa
Dị hóa

Nguyên liệu
Các chất đơn giản như CO2, H2O, axit amin, đường đơn, axit béo, glixerol
Các chất hữu cơ như tinh bột, prôtêin, lipit, glucozơ

Sản phẩm
Tạo ra các chất hữu cơ phức tạp như tinh bột, prôtêin, lipit
Tạo ra các chất đơn giản hơn như CO2, H2O, NH3 và năng lượng

Năng lượng
Cần tiêu tốn năng lượng
Giải phóng năng lượng

Vai trò
Tạo vật chất xây dựng cơ thể, dự trữ năng lượng
Cung cấp năng lượng cho các hoạt động sống

Ví dụ
Quang hợp tổng hợp glucozơ; tổng hợp prôtêin từ axit amin
Hô hấp tế bào; tiêu hóa thức ăn

Kết luận:
Quá trình tổng hợp giúp tạo chất mới để xây dựng cơ thể, còn quá trình phân giải giúp cung cấp năng lượng cho cơ thể hoạt động. Hai quá trình này trái ngược nhau nhưng có quan hệ chặt chẽ với nhau.

Bài 2. Vai trò của hô hấp tế bào đối với hoạt động sống của sinh vật

Hô hấp tế bào có vai trò rất quan trọng đối với mọi sinh vật vì:

Kết luận:
Hô hấp tế bào giúp cung cấp năng lượng, tạo nhiệt và cung cấp các chất trung gian cho cơ thể, vì vậy nó giữ vai trò rất quan trọng đối với hoạt động sống của sinh vật.

Bài giải

a) Tính số đo góc BAC và chứng minh tứ giác SAHD nội tiếp

Vì BC là đường kính của đường tròn (O) nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 độ.

Suy ra:
góc BAC = 90 độ.

Lại có:
S, A, B thẳng hàng nên góc SAH = góc BAC = 90 độ.
S, D, C thẳng hàng và H, D, B thẳng hàng nên góc SDH = góc CDB = 90 độ.

Vậy:
góc SAH = góc SDH.

Suy ra 4 điểm S, A, H, D cùng thuộc một đường tròn.
Do đó tứ giác SAHD nội tiếp.

b) Chứng minh góc IAH = góc MDC

Trước hết, ta chứng minh một số hệ thức phụ.

Xét hai tam giác SBD và SCA:

góc SDB = góc CDB = 90 độ,
góc SAC = góc BAC = 90 độ,

và
góc SBD = góc ABD = góc ACD = góc SCA
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).

Suy ra:
tam giác SBD đồng dạng tam giác SCA.

Do đó:
SD / SA = BD / AC
và
SB / SC = BD / AC. (1)

Bây giờ áp dụng định lí Menelaus.

Trong tam giác SMC, với ba điểm D, H, B thẳng hàng theo thứ tự trên các cạnh SC, SM, MC, ta có:
SD / DC . CB / BM . MH / HS = 1. (2)

Trong tam giác SMB, với ba điểm A, H, C thẳng hàng theo thứ tự trên các cạnh SB, SM, BM, ta có:
SA / AB . BC / CM . MH / HS = 1. (3)

Chia (2) cho (3), được:
BM / CM = AB . SD / (CD . SA).

Kết hợp với (1):
BM / CM = AB . BD / (AC . CD). (4)

Bây giờ gọi N là chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC.

Khi đó trong tam giác SBC, ta có:
BN = SB . cos góc SBC,
NC = SC . cos góc SCB.

Mà
góc SBC = góc ABC,
góc SCB = góc DCB.

Nên:
BN / NC = SB . cos góc ABC / (SC . cos góc DCB).

Vì tam giác ABC vuông tại A nên:
cos góc ABC = AB / BC.

Vì tam giác DCB vuông tại D nên:
cos góc DCB = CD / BC.

Suy ra:
BN / NC = SB . AB / (SC . CD).

Dùng (1), tức là SB / SC = BD / AC, ta được:
BN / NC = AB . BD / (AC . CD). (5)

Từ (4) và (5):
BM / CM = BN / NC.

Vì B, M, N, C cùng nằm trên một đường thẳng nên M trùng N.
Do đó:
SM vuông góc BC.

Mà S, H, M thẳng hàng nên:
SH vuông góc BC. (6)

Xét tam giác SAH.
Ta đã có góc SAH = 90 độ, nên tam giác SAH vuông tại A.
I là trung điểm của SH nên I là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông SAH.

Suy ra:
IA = IH.

Vậy trong tam giác IAH:
góc IAH = góc IHA.

Mà I, H, S thẳng hàng nên:
góc IHA = góc SHA.

Do đó:
góc IAH = góc SHA. (7)

Từ (6), vì SH vuông góc BC nên:
góc SHA = 90 độ - góc ACB.

Mà trong tam giác ABC vuông tại A:
góc ABC + góc ACB = 90 độ.

Suy ra:
góc SHA = góc ABC.

Kết hợp với (7), được:
góc IAH = góc ABC. (8)

Bây giờ ta chứng minh góc MDC = góc ABC.

Lấy điểm X trên BC sao cho:
góc XDC = góc ABC.

Vì góc BDC = 90 độ nên:
góc BDX = 90 độ - góc XDC = 90 độ - góc ABC = góc ACB.

Áp dụng định lí sin trong hai tam giác BDX và CDX:
BX / XC = BD . sin góc BDX / (CD . sin góc XDC)
= BD . sin góc ACB / (CD . sin góc ABC).

Mà trong tam giác ABC:
sin góc ACB / sin góc ABC = AB / AC.

Nên:
BX / XC = AB . BD / (AC . CD). (9)

Từ (4) và (9):
BM / CM = BX / XC.

Vì B, M, X, C thẳng hàng nên M trùng X.

Suy ra:
góc MDC = góc XDC = góc ABC. (10)

Từ (8) và (10), suy ra:
góc IAH = góc MDC.

Điều phải chứng minh.

c) Cho góc BSC = 60 độ và BC = 6 cm. Tính AD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD

Vì S là giao điểm của hai cát tuyến SAB và SDC nên:
góc BSC = 1/2 (số đo cung BC - số đo cung AD).

Mà BC là đường kính nên số đo cung BC = 180 độ.

Lại có:
góc BSC = 60 độ.

Suy ra:
60 độ = 1/2 (180 độ - số đo cung AD)

=> 120 độ = 180 độ - số đo cung AD

=> số đo cung AD = 60 độ.

Vì BC = 6 cm nên bán kính đường tròn (O) là:
R = BC / 2 = 3 cm.

Dây AD chắn cung 60 độ nên:
AD = 2R . sin(60 độ / 2)
= 2 . 3 . sin 30 độ
= 3 cm.

Vậy:
AD = 3 cm.

Tiếp theo, trong tam giác SAD:
góc ASD = góc BSC = 60 độ.

Gọi R1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD.
Theo công thức:
AD = 2R1 . sin góc ASD

suy ra:
R1 = AD / (2 sin 60 độ)
= 3 / (2 . căn 3 / 2)
= 3 / căn 3
= căn 3 cm.

Kết luận:
AD = 3 cm.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD bằng căn 3 cm.

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a căn 2 và SA vuông góc với mặt đáy.
M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD.
Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (AMN).

Ta sẽ chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AMN).

Thật vậy:

Vì M là hình chiếu của A lên SB nên:
AM vuông góc SB

Mặt khác:
BC vuông góc AB
và BC vuông góc SA

Do AB và SA cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (SAB), suy ra:
BC vuông góc mặt phẳng (SAB)

Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB), nên:
BC vuông góc AM

Vậy trong mặt phẳng (SBC), ta có:
AM vuông góc SB và AM vuông góc BC

Suy ra:
AM vuông góc mặt phẳng (SBC)

Do đó:
AM vuông góc SC

Tương tự, vì N là hình chiếu của A lên SD nên:
AN vuông góc SD

Lại có:
CD vuông góc AD
và CD vuông góc SA

Suy ra:
CD vuông góc mặt phẳng (SAD)

Mà AN nằm trong mặt phẳng (SAD), nên:
CD vuông góc AN

Vậy trong mặt phẳng (SCD), ta có:
AN vuông góc SD và AN vuông góc CD

Suy ra:
AN vuông góc mặt phẳng (SCD)

Do đó:
AN vuông góc SC

Vì SC vuông góc với hai đường thẳng AM và AN cắt nhau trong mặt phẳng (AMN), nên:
SC vuông góc mặt phẳng (AMN)

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (AMN) là góc bù phụ với góc giữa SB và SC, tức là:
góc(SB, (AMN)) = 90 độ - góc BSC

Ta tính góc BSC trong tam giác SBC.

Có:
SB² = SA² + AB² = 2a² + a² = 3a²
nên SB = a căn 3

Lại có:
AC = a căn 2

SC² = SA² + AC² = 2a² + 2a² = 4a²
nên SC = 2a

Và:
BC = a

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SBC:
cos góc BSC = (SB² + SC² - BC²) / (2.SB.SC)
= (3a² + 4a² - a²) / (2.a căn 3.2a)
= 6a² / (4a² căn 3)
= căn 3 / 2

Suy ra:
góc BSC = 30 độ

Vậy:
góc(SB, (AMN)) = 90 độ - 30 độ = 60 độ

Câu 2

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và các góc phẳng ở đỉnh A đều bằng 60 độ.
Tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C).

Ta xét tứ diện AA'BD.

Vì
AA' = AB = AD = 1
và các góc
góc BAA' = góc DAA' = góc DAB = 60 độ

Nên theo định lí cos:
A'B² = AA'² + AB² - 2.AA'.AB.cos 60 độ
= 1 + 1 - 2.1.1.1/2
= 1
suy ra A'B = 1

Tương tự:
BD = 1, DA' = 1

Vậy tứ diện AA'BD là tứ diện đều cạnh 1.

Suy ra thể tích của nó là:
VAA'BD = căn 2 / 12

Mà thể tích hình hộp bằng 6 lần thể tích tứ diện tạo bởi ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh, nên:
Vhình hộp = 6 . căn 2 / 12 = căn 2 / 2

Bây giờ xét tứ diện AB'CC'.

Ta có:
VAB'CC' = 1/6 Vhình hộp = căn 2 / 12

Gọi h là khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C).
Khi đó:
VAB'CC' = 1/3 . SAB'C . h

Ta tính diện tích tam giác AB'C.

Có:
AB'² = AB² + AA'² + 2.AB.AA'.cos 60 độ
= 1 + 1 + 1
= 3
nên AB' = căn 3

Tương tự:
AC = căn 3

Lại có:
B'C² = BC² + CC'² - 2.BC.CC'.cos 60 độ
= 1 + 1 - 1
= 1
nên B'C = 1

Vậy tam giác AB'C có ba cạnh:
AB' = AC = căn 3, B'C = 1

Nửa chu vi là:
p = (căn 3 + căn 3 + 1)/2 = (2 căn 3 + 1)/2

Theo công thức Heron:
SAB'C = căn [p(p - căn 3)(p - căn 3)(p - 1)]
= căn 11 / 4

Do đó:
căn 2 / 12 = 1/3 . căn 11 / 4 . h

Suy ra:
h = 3 . căn 2 / 12 . 4 / căn 11
= căn 2 / căn 11
= căn(2/11)

Vậy khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C) là:
căn(2/11)