Câu 6
Ta có:
a + b = 15
b > a > 3
Vì a > 3 và b > a nên ta thử các giá trị tự nhiên của a:
Nếu a = 4 thì b = 15 - 4 = 11.
Khi đó:
b > a > 3 đúng vì 11 > 4 > 3.
ƯCLN(4; 11) = 1.
Vậy cặp số có thể là:
a = 4, b = 11
Nếu đề hỏi a.b thì:
a.b = 4.11 = 44
Nếu đề hỏi BCNN(a; b), do ƯCLN(a; b) = 1 nên:
BCNN(a; b) = a.b = 4.11 = 44
Đáp án: D. 44
Câu 7
Hai bạn Nam và Hải thường đến thư viện đọc sách.
Nam cứ 8 ngày đến thư viện một lần.
Hải cứ 10 ngày đến thư viện một lần.
Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào cùng 1 ngày.
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện?
Bài giải
Ta cần tìm số ngày nhỏ nhất vừa chia hết cho 8, vừa chia hết cho 10.
Tức là tìm BCNN(8; 10).
Phân tích:
8 = 2³
10 = 2 . 5
BCNN(8; 10) = 2³ . 5 = 8 . 5 = 40
Vậy sau ít nhất 40 ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện.
Đáp án: D. 40
Câu 8
Cho:
P = 9²⁰²³ / 11²⁰²⁴ + 10²⁰²³ / 12²⁰²⁴ + 11²⁰²³ / 13²⁰²⁴
Q = (9²⁰²³ + 10²⁰²³ + 11²⁰²³) / (11²⁰²⁴ + 12²⁰²⁴ + 13²⁰²⁴)
So sánh P và Q.
Bài giải
Đặt:
A = 9²⁰²³ / 11²⁰²⁴
B = 10²⁰²³ / 12²⁰²⁴
C = 11²⁰²³ / 13²⁰²⁴
Khi đó:
P = A + B + C
Mỗi phân số A, B, C đều dương nên:
P = A + B + C > A
P = A + B + C > B
P = A + B + C > C
Tức là P lớn hơn từng phân số thành phần.
Mặt khác, Q là một phân số có dạng:
Q = tổng các tử số / tổng các mẫu số
Ta có thể hiểu Q là một giá trị trung bình có trọng số của các phân số:
9²⁰²³ / 11²⁰²⁴, 10²⁰²³ / 12²⁰²⁴, 11²⁰²³ / 13²⁰²⁴
Vì vậy Q nằm giữa các phân số thành phần, nên Q không thể lớn hơn tổng của cả ba phân số thành phần.
Do đó:
P > Q
Đáp án: A. P > Q
Cách hiểu nhanh:
P là tổng của 3 phân số dương.
Q chỉ là tỉ số giữa tổng tử và tổng mẫu, nên Q nhỏ hơn tổng 3 phân số đó.
Vậy P > Q.
Câu 9
Tính:
S = 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + 1/(1 + 2 + 3 + 4) + ... + 1/(1 + 2 + 3 + ... + 2023)
Bài giải
Ta có công thức:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
Vậy:
1/(1 + 2 + ... + n) = 1/[n(n + 1)/2] = 2/[n(n + 1)]
Ở đây tổng bắt đầu từ n = 2 đến n = 2023.
Do đó:
S = 2/(2.3) + 2/(3.4) + 2/(4.5) + ... + 2/(2023.2024)
Ta biến đổi:
2/[n(n + 1)] = 2(1/n - 1/(n + 1))
Vậy:
S = 2(1/2 - 1/3) + 2(1/3 - 1/4) + 2(1/4 - 1/5) + ... + 2(1/2023 - 1/2024)
Các số ở giữa triệt tiêu nhau, còn lại:
S = 2(1/2 - 1/2024)
S = 1 - 2/2024
S = 1 - 1/1012
S = 1011/1012
Đáp án: A. 1011/1012
Lưu ý: Đáp án B. 1011/2024 là sai.
Câu 10
Rút gọn:
P = (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2024) : (1/4 + 1/6 + 1/8 + ... + 1/4048)
Bài giải
Ta xét mẫu số của biểu thức thứ hai:
1/4 + 1/6 + 1/8 + ... + 1/4048
Ta thấy:
4 = 2.2
6 = 2.3
8 = 2.4
...
4048 = 2.2024
Do đó:
1/4 = 1/(2.2) = 1/2 . 1/2
1/6 = 1/(2.3) = 1/2 . 1/3
1/8 = 1/(2.4) = 1/2 . 1/4
...
1/4048 = 1/(2.2024) = 1/2 . 1/2024
Vậy:
1/4 + 1/6 + 1/8 + ... + 1/4048
= 1/2(1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2024)
Đặt:
A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2024
Khi đó:
P = A : 1/2 A
P = A / (1/2 A)
P = 2
Đáp án: B. P = 2
