Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

\(log_4\left(3^x-1\right).log_{\dfrac{1}{4}}\dfrac{3^x-1}{16}\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow log_4\left(3^x-1\right).\left(-log_4\dfrac{3^x-1}{16}\right)\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow log_4\left(3^x-1\right).\left(2-log_4\left(3^x-1\right)\right)\le\dfrac{3}{4}\)

Đặt \(log_4\left(3^x-1\right)=a\)

\(\Rightarrow a\left(2-a\right)\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le\dfrac{1}{2}\\a\ge\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Làm tiếp nhé

a. 3^2x - 5.(3.2)^x + 2^2x.4 =0

(=) \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{^{2x}}-5.\left(\dfrac{3}{2}\right)^x+2^{2x}.4\) =0

đặt \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=t\) đk: t > 0

=> pttt: t² - 5t +4 =0

(=)\(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=4\end{matrix}\right.\)

(=) \(\left[{}\begin{matrix}\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=1\\\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=4\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\log_{\dfrac{3}{2}}4\end{matrix}\right.\)

b. 3.5^2x + 2.7^2x - 5.(5.7)^x =0

(=) \(3+2.\left(\dfrac{7}{5}\right)^{2x}-5.\left(\dfrac{7}{5}\right)^x=0\)

đặt \(t=\left(\dfrac{7}{5}\right)^x\) đk: t > 0

pttt: 3+2t²-5t=0

(=) \(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\log_{\dfrac{7}{5}}\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

ĐK: \(x>-2\)

Ta có \(\log_7(x+2)=6-x\Leftrightarrow x+2=7^{6-x}\)

Xét vế trái:

\((x+2)'=1>0\Rightarrow \) hàm $x+2$ là hàm đồng biến .

\((7^{6-x})'=-7^{6-x}\ln 7<0\) nên \(7^{6-x}\) là hàm nghịch biến.

Do đó, PT \(x+2=7^{6-x}\) có nhiều nhất một nghiệm.

Dễ thấy $x=5$ thỏa mãn PT trên, do đó $x=5$ chính là nghiệm duy nhất.

Vậy \(x=5\)

Lời giải:

Để ý rằng \(\log _3(3^{x+1}-3)=\log_3[3(3^x-1)]=1+\log_3(3^x-1)\)

Đặt \(\log_3(3^x-1)=t\). Khi đó PT tương đương:

\(t(t+1)=6\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=0\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(t=2\rightarrow 3^x-1=9\Leftrightarrow 3^x=10\rightarrow x=\log_3(10)\)

Nếu \(t=-3\Rightarrow 3^x-1=\frac{1}{27}\Rightarrow 3^x=\frac{28}{27}\Rightarrow x=\log_3\left (\frac{28}{27}\right)\)

Lời giải:

Ta có \(\log_3(3^x-8)=2-x\Leftrightarrow 3^x-8=3^{2-x}\)

Xét vế trái: \((3^x-8)'=\ln 3.3^x>0\) nên vế trái là hàm đồng biến

Xét vế phải: \((3^{2-x})'=-\ln 3.3^{2-x}<0\) nên vế phải là hàm nghịch biến

Do đó PT chỉ có nhiều nhất một nghiệm. Nhận thấy pt có nghiệm \(x=2\) nên $x=2$ chính là nghiệm duy nhất cần tìm.

\(\left(1+\dfrac{1}{2x}\right).lg3+lg2=lg\left(27-3^{\dfrac{1}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow lg3^{1+\dfrac{1}{2x}}+lg2=lg\left(27-3^{\dfrac{1}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow lg\left(2.3^{1+\dfrac{1}{2x}}\right)=lg\left(27-3^{\dfrac{1}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow2.3^{1+\dfrac{1}{2x}}=27-3^{\dfrac{1}{x}}\)
\(\Leftrightarrow2.3.\left(3^{\dfrac{1}{x}}\right)^2=27-3^{\dfrac{1}{x}}\)
Đặt \(3^{\dfrac{1}{x}}=t\left(t>0\right)\) phương trình trở thành:
\(2.3t^2=27-t\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}\left(l\right)\\t_2=\dfrac{1+\sqrt{649}}{12}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(t=\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}\Leftrightarrow3^{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=log^{\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}}_3\)
\(\Leftrightarrow x=log^3_{\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}}\).

a)

Đặt \(\frac{x}{2}=t\Rightarrow 3^{2t}-4=5^t\)

\(\Leftrightarrow 9^t-5^t=4\)

TH1: \(t>1\Rightarrow 9^t-5^t< 4^t\)

\(\Leftrightarrow 9^t< 4^t+5^t\)

\(\Leftrightarrow 1< \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t\) \((*)\)

Ta thấy vì \(\frac{4}{9};\frac{5}{9}<1 \), do đó với \(t>1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left(\frac{4}{9}\right)^t< \frac{4}{9}\\ \left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{5}{9}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1\) (mâu thuẫn với (*))

TH2: \(t<1 \) tương tự TH1 ta cũng suy ra mâu thuẫn

do đó \(t=1\Rightarrow x=2\)

b)

Ta có: \(5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x\)

\(\Leftrightarrow (5^{2x}-2.5^{x}+1)=3^{2x}+2.3^x+1\)

\(\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2\)

\(\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0\)

Dễ thấy \(5^x+3^x>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow 5^x-3^x-2=0\)

\(\Leftrightarrow 5^x-3^x=2\)

\(\Leftrightarrow 5^x=3^x+2\)

Đến đây ta đưa về dạng giống hệt phần a, ta thu được nghiệm \(x=1\)

c)

\((2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=4^x\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)^x+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^x=1\)

TH1: \(x>1\)

Vì \(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1;x> 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2+\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x<\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1\) (vô lý)

TH2: \(x<1 \)

\(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1; x< 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2+\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x>\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1\) (vô lý)

Do đó \(x=1\)

d)

\(9^x+2(x-2)3^x+2x-5=0\)

\(\Leftrightarrow (3^{2x}-1)+2(x-2)3^x+2(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (3^x-1)(3^x+1)+2(x-2)(3^x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (3^x+1)(3^x+2x-5)=0\)

\(\Leftrightarrow 3^x+2x-5=0\) (do \(3^x+1>0\forall x\in\mathbb{R}\) )

\(\Leftrightarrow 3^x=5-2x\)

Ta thấy \((3^x)'=\ln 3.3^x>0\) nên vế trái đồng biến

\((5-2x)'=-2< 0\) nên vế phải nghịch biến

Do đó pt chỉ có nghiệm duy nhất. Dễ thấy \(x=1\) là 1 nghiệm thỏa mãn nên pt có duy nhất nghiệm x=1

Bài 1:

Đặt \(\left(\frac{3}{2}\right)^x=a\) \((a>0)\)

PT tương đương với:

\(\left(\frac{9}{4}\right)^x-2.\left(\frac{3}{2}\right)^x+m^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+m^2=0\) (1)

-Trước tiên, để pt đầu tiên có hai nghiệm phân biệt thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt \(\rightarrow \) \(\Delta'=1-m^2>0\Leftrightarrow -1< m< 1\)

Áp dụng hệ thức Viete với \(a_1,a_2\) là nghiệm của (1) \(\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=2\\ a_1a_2=m^2\end{matrix}\right.\)

-Vì \(a\) luôn dương nên \(\left\{\begin{matrix} a_1+a_2>0\\ a_1a_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2>0 \Leftrightarrow m\neq 0\)

-Xét đk cuối cùng, để pt đầu tiên có hai nghiệm trái dấu, tức \(x<0\) hoặc $x>0$ thì \(a<1\) hoặc \(a>1\), hay \((a_1-1)(a_2-1)< 0\)

\(\Leftrightarrow a_1a_2-(a_1+a_2)+1< 0\Leftrightarrow m^2<1\Leftrightarrow -1< m< 1\)

Vậy \(-1< m< 1; m\neq 0\)

Bài 2:

Đặt \(2^x=a\Rightarrow \) \(4^x-2m.2^x+2m=0\) tương đương với:
\(a^2-2ma+2m=0\) (1)

Để pt đầu tiên có hai nghiệm phân biệt thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow \Delta'=m^2-2m>0\Leftrightarrow m< 0\) hoặc $m>2$

Áp dugnj hệ thức viete với $a_1,a_2$ là hai nghiệm của phương trình:

\(a_1a_2=2m\Leftrightarrow 2^{x_1}.2^{x_2}=2m\Leftrightarrow 2^{x_1+x_2}=2m\Leftrightarrow 8=2m\rightarrow m=4\)

(thỏa mãn)

Vậy \(m=4\)

Bài 3:

Đặt \(2^{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}=t\Rightarrow t^2-14t+8-m=0\) (1)

Trước hết ta xét khoảng giới hạn của t

ĐK: \(x\in [-1;3]\)

\(f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{3-x}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x=1\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} f(-1)=2\\ f(3)=2\\ f(1)=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)_{max}=2\sqrt{2}; f(x)_{\min}=2\)

\(\Leftrightarrow t\in [4;4^{\sqrt{2}}]\)

Từ (1) ta suy ra \(m=t^2-14t+8=f(t)\); pt đầu tiên có nghiệm khi (1) có nghiệm .

Khi đó: \(f(t)_{\max}\geq m\geq f(t)_{\min}\)

\(f'(t)=2t-14=0\Leftrightarrow t=7\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} f(4)=-16\\ f(4^{\sqrt{2}})\approx -40.9\\ f(7)=-41\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f(t)_{\max}=16; f(t)_{\min}=-41\Rightarrow -16\geq m\geq -41\)