a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O.

a)      Ta có:

+) \(\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng; tỉ số độ dài \(\dfrac{{BC}}{{MB}} = 2\)

\( \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho \(MB = \dfrac{1}{2}BC\)

+) \({\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow 4\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} }\)

\( \Rightarrow N\) thuộc đoạn thẳng AB và \(NB=\dfrac{{1}}{{4}} AB\)

+) \(\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PA}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của CA

b) \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {MC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}  \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}\)

c) Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} ;\) \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MP}  = 2\overrightarrow {MN} \)

Vậy \(M,N,P\) thẳng hàng

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|\)

\(\Leftrightarrow MA^2+BC^2+2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{CB}=MA^2+BC^2+2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow AM\perp BC\)

Tập hợp M là đường thẳng qua A vuông góc BC

Lời giải:

a.

\(|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{BA|}\)

Tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $C$ đường bán kính $AB$

b. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó:

\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|\)

\(=|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MI}|=0\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=0\Leftrightarrow M\equiv I\)

Vậy điểm $M$ là trung điểm của $AB$

c.

Trên tia đối của tia $CA$ lấy $K$ sao cho $KC=\frac{1}{3}CA$

\(|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}|=2|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC}|=|2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC})^2=(2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC})^2\)

\(\Leftrightarrow MK^2+16KC^2=4MK^2+4KC^2\)

\(\Leftrightarrow 12KC^2=3MK^2\Leftrightarrow MK=2KC=\frac{2}{3}AC\)

Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $\frac{2}{3}AC$

d.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$

\(|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{CB}|\)

\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{CB}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{2}\)

Vậy điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{BC}{2}$
 

d, Lấy P, Q sao cho \(4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0};2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có \(\left|4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|4\text{ }\overrightarrow{MP}+4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|=\left|4\overrightarrow{MP}\right|=4MP\)

\(\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\text{ }\left|2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}\right|=0\)

\(\Rightarrow4MP=0\Rightarrow M\equiv P\)

Gọi G là trọng tâm tam giác, I là trung điểm BC, N là trung điểm của AC

a, Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)

\(\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\)

\(\Rightarrow MG=MI\Rightarrow M\) thuộc đường trung trực của BC

b, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MN}\right|=2MN\)

\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\)

\(\Rightarrow2MN=BA\Rightarrow M\in\left(N;\frac{BA}{2}\right)\)

c, Lấy điểm E thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\), F thỏa mãn \(4\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}\right|=\left|3\overrightarrow{ME}\right|=3ME\)

\(\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\left|4\overrightarrow{MF}+4\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{FC}\right|=\left|3\overrightarrow{MF}\right|=3MF\)

\(\Rightarrow ME=MF\Rightarrow M\) thuộc đường trung trực EF