Chương I: VÉC TƠ

a/ Đề sai (tổng 2 vecto này ko liên quan gì đến \(\overrightarrow{BA}\) cả)

b/ Đề sai \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{OB}\)

c/ Đề sai \(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\) ; \(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}\) mà 2 vecto \(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CD}\) ko cùng phương nên ko thể bằng nhau

d/ Đề sai \(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OB}\ne\overrightarrow{0}\)

e/ Câu duy nhất đề đúng:

Do O là trung điểm AC \(\Rightarrow\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}\)

O là trung điểm BD nên \(\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

M thuộc trục tung nên tung độ y bằng 0

\(\Rightarrow M\left(a;0\right)\)

Ta có P= \(MA^2+MB^2=\sqrt{\left(1-a\right)^2+\left(-1\right)^2}^2+\sqrt{\left(3-a\right)^2+2^2}^2=2a^2-8a+15=2\left(a-2\right)^2+7\ge7\)

\(\Rightarrow\) MinP=7 đạt được khi a=2

khi đó M(2;0)

Gọi M là trung điểm BC và I là điểm nằm trên đoạn thẳng AM sao cho sao cho IM=2IA

\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có: \(AM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IM=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow IA=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow IA^2=\dfrac{a^2}{12}\) 

 \(IB=IC=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2+IM^2=\dfrac{7a^2}{12}\) 

Ta có:

\(4MA^2+MB^2+MC^2=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6MI^2+4IA^2+IB^2+IC^2+2\overrightarrow{MI}\left(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6MI^2+4IA^2+IB^2+IC^2=\dfrac{5a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow6MI^2=a^2\Rightarrow MI=\dfrac{a}{\sqrt{6}}\)

Quỹ tích M là đường tròn tâm I bán kính \(R=\dfrac{a}{\sqrt{6}}\)

Bạn xem lại đề, I không thể là trung điểm AC.

Vì I là trung điểm AC, K thuộc AC nghĩa là I, K đều thuộc AC, vậy B,I,K thẳng hàng chỉ khi B cũng thuộc AC nốt (vô lý)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-3;4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\left(-3;5\right)\)

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\left(1-x;5-y\right)\)

Để ABCD là hbh \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=1\\5-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(0;6\right)\)

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Hình vẽ:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{EB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)