Lời giải:
Xét hai vecto bất kỳ  \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\). Kẻ vecto $\overrightarrow{CT}$ sao cho $\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{BA}$

Ta có:

\(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TD}|\)

\(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TC}|+|\overrightarrow{CD}|\)

Mà theo bđt tam giác thì:

\(|\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CD}|\geq |\overrightarrow{TD}|\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|+\overrightarrow{CD}|\geq |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(T, C,D\) thẳng hàng và $C$ nằm giữa $T,D$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{TC}, \overrightarrow{CD}$ cùng hướng 

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$ cùng hướng

Vậy với $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ bất kỳ thì $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$. Dấu "=" xảy ra khi $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng hướng.

------------------

Áp dụng vào bài toán:

\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|\leq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|\leq |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng hướng và \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) cùng hướng 

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) cùng hướng 

giả sử tam giác ABC \(\overrightarrow{BC}\)=\(\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{AC}\)= \(\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{AB}\)=\(\overrightarrow{c}\)

theo đề ta có

BC-AC< AB < BC+AC

\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Rightarrow\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\)

\(\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=2a^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-b^2\)

\(=2a^2-b^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)

\(=2.1-2+0=0\)

\(\Rightarrow\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\perp\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)

\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\).
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\).
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\left|\overrightarrow{b}\right|^2\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2\).

a) Ta thấy \(4 = ( - 2).( - 2); - 6 = ( - 2).3 \Rightarrow \overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow b \)

\( - 2 < 0\) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng (đpcm)

b) Ta thấy \( - 8 = 4.( - 2);12 = 4.3 \Rightarrow \overrightarrow b  = 4\overrightarrow a \)

\(4 > 0\) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng  (đpcm)

c) Ta thấy \(0 =  - 1.0;4 = ( - 1).( - 4) \Rightarrow \overrightarrow a  =  - \overrightarrow b \)

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đối nhau (đpcm)

Bài này sử dụng bất đẳng thức tam giác

Đặt vectơ AB = a vectơ BC = b

Ta có: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) hay \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\overrightarrow{AC}\)

Ta lại có: \(AB+BC\ge AC\) ( bđt tam giác )

Từ 2 điều trên ta suy ra đpcm \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\le\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\)

Ta có: \(3\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 3\overrightarrow {AB}  + 3.\left( {2\overrightarrow {BC} } \right) - \left[ {2\overrightarrow {AB}  + 2.\left( {3\overrightarrow {BC} } \right)} \right]\)

\[ = 3\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC}  - \left( {2\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC} } \right)\]\[ = 3\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {AB}  - 6.\overrightarrow {BC} \]

\[ = \left( {3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {6.\overrightarrow {BC}  - 6.\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\]

Từ giả thiết ta có: 

\(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}.5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.4\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}.5\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}.4\overrightarrow{b}=0\)

\(\Leftrightarrow5a^2+6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-8b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0^o\)

Nếu \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=180^o\)

Làm lại đây nha, nãy buồn ngủ nên làm hơi ngu.

Từ giả thiết ta có:

\(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0^o\)

Nếu \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=180^o\)