Vì \(\Delta ADE\backsim\Delta AMN\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {ADE} = \widehat {AMN};\widehat {AED} = \widehat {ANM}\\\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{DE}}{{MN}}\end{array} \right.\)

Vì \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(AMN\)nên \(DE = \frac{1}{2}MN\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {ADE} = \widehat {AMN};\widehat {AED} = \widehat {ANM}\\\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{DE}}{{MN}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AM = 2AD;AN = 2AE;MN = 2DE\)

Lại có, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\\\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\end{array} \right.\)

Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\\\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AB = 2AM;AC = 2AN;BC = 2MN\)

Vì tam giác \(\Delta ADE\backsim\Delta AMN,\Delta AMN\backsim\Delta ABC,\) nên \(\Delta ADE\backsim\Delta ABC\)

Tỉ số đồng dạng là: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{\frac{{AM}}{2}}}{{2AM}} = \frac{1}{4}\).

Vậy tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{4}\).

a)xét ΔABC và ΔHBA ta có

\(\widehat{BAH}=\widehat{BHA}=90^o\)

\(\widehat{B}chung\)

=>ΔABC ∼ ΔHBA(g.g)(1)

b)xét ΔABC và ΔAHC ta có

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{B}chung\)

->ΔABC ∼ ΔAHC(g.g)(2)

từ (1) và (2)=>ΔHBA và ΔAHC

->\(\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HC}{AH}\)

=>\(AH^2=BH.HC\)

a) Nếu \(\Delta A'B'C' = \Delta ABC\) thì tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\). Vì hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.

Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 1\end{array} \right.\). Vậy \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC\) và tỉ số đồng dạng là 1.

b) Vì \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng là \(k\) nên tỉ số đồng dạng là: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k\).

Khi đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\) đồng dạng với tỉ số đồng dạng là: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{k}\).

Vậy \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\)theo tỉ số \(\frac{1}{k}\).

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔABE∼ΔACF(g-g)

b) Ta có: ΔABE∼ΔACF(cmt)

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)

c) Ta có: \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(cmt)

nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF∼ΔABC(c-g-c)

d) Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDAC vuông tại D có

\(\widehat{DCA}\) chung

Do đó: ΔEBC∼ΔDAC(g-g)

a: \(\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}HBA;\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}HCA\)

b: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{15\cdot20}{25}=12\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{25}=9\left(cm\right)\)

CH=BC-BH=25-9=16(cm)

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔABH đồng dạng với ΔCBA

b: ΔABC vuông tại A

mà AH là đường cao

nên HA^2=HB*HC

c: AI/IH=BA/BH

EC/AE=BC/BA

mà BA/BH=BC/BA

nên AI/IH=EC/AE
=>AI*AE=IH*EC