Do \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow\) trong 3 số có ít nhất 1 số không lớn hơn 1
Không mất tính tổng quát, giả sử số đó là a \(\Rightarrow1-a\ge0\)
\(\Rightarrow P=a\left(b+c\right)+bc\left(1-a\right)\ge a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số luôn có 2 số nằm không khác phía so với 1, giả sử đó là b và c
\(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)
\(\Leftrightarrow abc+a\ge ab+ac\Leftrightarrow a\ge ab+ac-abc\)
\(\Rightarrow P=bc+ab+ac-abc\le bc+a\)
\(\Rightarrow P^2\le\left(b.c+a.1\right)^2\le\left(b^2+a^2\right)\left(c^2+1^2\right)\le\frac{1}{4}\left(b^2+a^2+c^2+1\right)^2=4\)
\(\Rightarrow P\le2\Rightarrow P_{max}=2\) khi \(a=b=c=1\)
