Violympic toán 9

Angela jolie

Tìm các số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn \(\frac{a+b}{a^2+b^2}=\frac{9}{41}\)

Akai Haruma
30 tháng 3 2020 lúc 0:09

Lời giải:

$\frac{a+b}{a^2+b^2}=\frac{9}{41}\Rightarrow 9(a^2+b^2)=41(a+b)$

$\Leftrightarrow 9(a+b)^2-18ab=41(a+b)$

Đặt $a+b=m; ab=n$ thì $9m^2-18n=41m$

Giả sử $m,n$ không nguyên tố cùng nhau. Khi đó gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $m,n$

Ta có:\(\left\{\begin{matrix} m=a+b\vdots p\\ n=ab\vdots p\end{matrix}\right.\)

Vì $ab\vdots p$ và $(a,b)=1$ nên $a\vdots p; b\not\vdots p$ hoặc $a\not\vdots p, b\vdots p$

Khi đó $a+b\not\vdots p$ (vô lý vì $m=a+b\vdots p$)

Do điều giả sử sai. Tức là $(m,n)=1$

Ta có: $9m^2-18n=41m\vdots m\Rightarrow 18n\vdots m$

Mà $(m,n)=1$ nên $18\vdots m(1)$

Mặt khác: $41m=9m^2-18n\vdots 9\Rightarrow m\vdots 9(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow m=9$ hoặc $m=18$

$\Rightarrow n=20$ hoặc $n= 121$ (tương ứng)

Vậy $a+b=9; ab=20$ hoặc $a+b=18; ab=121$

Đến đây sử dụng định lý Vi-et đảo để tìm $a,b$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lê Thị Bích Thảo
Xem chi tiết
Hien Le
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
M1014-AWM
Xem chi tiết
Tạ Uyên
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Vương Thiên Nhi
Xem chi tiết