Lời giải:
$\frac{a+b}{a^2+b^2}=\frac{9}{41}\Rightarrow 9(a^2+b^2)=41(a+b)$
$\Leftrightarrow 9(a+b)^2-18ab=41(a+b)$
Đặt $a+b=m; ab=n$ thì $9m^2-18n=41m$
Giả sử $m,n$ không nguyên tố cùng nhau. Khi đó gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $m,n$
Ta có:\(\left\{\begin{matrix} m=a+b\vdots p\\ n=ab\vdots p\end{matrix}\right.\)
Vì $ab\vdots p$ và $(a,b)=1$ nên $a\vdots p; b\not\vdots p$ hoặc $a\not\vdots p, b\vdots p$
Khi đó $a+b\not\vdots p$ (vô lý vì $m=a+b\vdots p$)
Do điều giả sử sai. Tức là $(m,n)=1$
Ta có: $9m^2-18n=41m\vdots m\Rightarrow 18n\vdots m$
Mà $(m,n)=1$ nên $18\vdots m(1)$
Mặt khác: $41m=9m^2-18n\vdots 9\Rightarrow m\vdots 9(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow m=9$ hoặc $m=18$
$\Rightarrow n=20$ hoặc $n= 121$ (tương ứng)
Vậy $a+b=9; ab=20$ hoặc $a+b=18; ab=121$
Đến đây sử dụng định lý Vi-et đảo để tìm $a,b$