Cho tam giác ABC cân tại A( góc A nhỏ hơn 90 độ). Vẽ BD vuông AC tại D, CE vuông AB tại E. N là trung điểm của BC
a, Chứng minh: AN là đường trung trực của BC
b, Chứng minh tam giác DBA = tam giác ECA
c, ED song song BC và AN vuông ED
d. Từ C kẻ vuông góc với EC cắt ED tại K. Chứng minh: BC bình phương = BD bình phương + CK bình phương
a) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BN=CN(N là trung điểm của BC)
nên N nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AN là đường trung trực của BC(đpcm)
b) Xét ΔDBA vuông tại D và ΔECA vuông tại E có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔDBA=ΔECA(cạnh huyền-góc nhọn)
c) Ta có: ΔDBA=ΔECA(cmt)
⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADE có AD=AE(cmt)
nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AED}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(3)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{AED}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên ED//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)(đpcm)
Ta có: AN⊥BC(AN là đường trung trực của BC)
ED//BC(cmt)
Do đó: AN⊥ED(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
