\(\frac{a^3}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}a\) ; \(\frac{b^3}{1+c}+\frac{1+c}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}b\) ; \(\frac{c^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}c\)
Cộng vế với vế:
\(P+\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{4}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{9}{4}\ge\frac{5}{4}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{9}{4}\ge\frac{5}{4}\sqrt{9}-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho: a,b,c > 0 và a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:
a) \(\frac{a+b}{1+a}+\frac{b+c}{1+b}+\frac{c+a}{1+c}\ge ab+bc+ca\)
b) \(\frac{a}{ab+b^3}+\frac{b}{bc+c^3}+\frac{c}{ca+a^3}\ge\frac{3}{2}\)
a)chứng minh rằng: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\) với mọi giá trị của a,b
b) cho các số dương a,b,c >0 cmr \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{9}{2}\)
cho a,b>0 cm\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) nếu \(ab\ge1\)
b) cho a,b,c\(\ge\)1. CMR \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Cho ba số thực a,b,c \(\ge\) 0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=\(\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}\)
cho các số thực dương a , b , c . tìm giá trị nhỏ nhất \(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\)
Cho a , b , c > 0 thỏa mãn \(a^2b+b^2c+c^2a=3\)
Chứng minh \(\frac{ab+bc+ca}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{6}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge\frac{a+b+c}{3}\)
cho a, b, c ≥ 1
cmr: \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
1.\(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=3\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
2.\(a,b,c>0\). Cmr: \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
3. \(a,b,c>0\). Cmr: \(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{a+b+c}{6}\)
