đặt \(\sqrt{x^2+1}=a\left(a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2=x^2+1\)
khi đó ta có:
\(a^2+4x=\left(x+4\right)a\) \(\Leftrightarrow a^2-4a+4x-ax=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=x\\a=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=x\\\sqrt{x^2+1}=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1=x^2\left(đk:x\ge0\right)\\x^2+1=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0=1\left(vl\right)\\x=\pm\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)
vậy x=15 hoặc x=-15 là nghiệm của pt
ĐKXĐ : \(x^2+1\ge0\) ( luôn đúng \(\forall x\) )
- Ta có : \(x^2+4x+1=\left(x+4\right)\sqrt{x^2+1}\)
- Đặt \(a=\sqrt{x^2+1}\left(a\ge0\right)\) ta được phương trình :
\(a^2+4x=a\left(x+4\right)\)
=> \(a^2+4x=ax+4a\)
=> \(a^2+4x-ax-4a=0\)
=> \(a\left(a-x\right)-4\left(a-x\right)\)
=> \(\left(a-x\right)\left(a-4\right)=0\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}a-x=0\\a-4=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}a=x\\a=4\end{matrix}\right.\) ( TM )
- Thay lại \(a=\sqrt{x^2+1}\) vào phương trình trên ta được :
=> \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=x\\\sqrt{x^2+1}=4\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x^2+1=x^2\\x^2+1=16\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}0=1\left(VL\right)\\x^2=16-1=15\end{matrix}\right.\)
=> \(x=\pm\sqrt{15}\left(TM\right)\)
Vậy phương trình trên có tập nghiệm là \(S=\left\{-\sqrt{15},\sqrt{15}\right\}\)
